Unterraum und Basis

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Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum und Basis
Hallo, ich habe 4 Teilmengen des gegeben:
a)
b)
c) )
d)

Jetzt soll ich überprüfen welcheUnterräume sind:
a) Ja ist ein Unterraum, denn
1. Nullvektor ist enthalten: (x,y) = (0,0)
2. Abgeschlossenheit der Addtion: Sei
Dann ist
3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation: Sei
, denn


Ist das formal so richtig?

b) ist dann auch Unterraum. Analog zu a) nur mit "-".

c) Ist kein Unterraum, denn
3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation: nicht erfüllt:

2. Abgeschlossenheit der Addtion: Sei


Also kein Unterraum.
Stimmt das so? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst "Untervektorraum" schreiben statt "Unterraum".
a) okay b) falsch c) und d) musst du erst noch bearbeiten, das ist zu wenig
 
 
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist a) formal richtig?

Zu b) Es ist kein Untervektorraum, da er nicht abgeschlossen ist bzgl der Addition, denn
Sei x,x* und y,y* im Untervektorraum, dann ist (x+x*) + (y+y*) = (x+y) + (x*+y*)=1+1=2 also nicht enthalten.
Bei c und d reicht doch wenn ein Axiom nicht erfüllt ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) und b) sind okay. b) hättest du einfacher haben können, denn der Nullvektor ist nicht in . Du darfst nicht formulieren, etwas sei nicht im Untervektorraum , wenn du damit beweisen willst, sei kein Untervektorraum. Du musst auch bitte deutlich sagen, was nicht in der Menge liegt.

Für c) und d) musst du beweisen, dass ein Kriterium nicht erfüllt ist. Es genügt nicht, dies zu behaupten. Es genügt nicht, Terme umzuformen. Ein Beweis ist stets eine logische Ableitung aus den Voraussetzungen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von Melanie233
Dann ist
3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation: Sei
, denn

Ist das formal so richtig?


Formal ist das nicht ok. ist ein Vektor. ein Skalar. Die werden NICHT gleich sein.

Was du meinst: Es gilt , da .

Edit: Danke Elvis. Verbessert. Kommt vom Copy-Pasten Big Laugh
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Zitat:
Original von IfindU
Es gilt , da .


Besser :
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Danke euch für die formalen Korrekturen:

Nochmal zu a)
3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation: Sei
Dann ist , denn

So formal dann ok?

Dann zu c)
Abgeschlossenheit der Addtion: Sei

Funktioniert das so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das funktioniert alles nicht, weil du unsere gut gemeinten Ratschläge und wichtigen Verbesserungen als "formale Korrekturen" disqualifizierst. Es geht nicht um formale Lappalien sondern um Beweistechnik und Darstellung von Beweisen. Du schreibst Gleichungen von Termen, aber du sagst nichts über Vektoren als Elemente von Vektorräumen und deren Zusammenhänge. Ohne Beschäftigung mit den eigentlichen Objekten und Aussagen und deren logischen Zusammenhängen entsteht kein Beweis.

Zur letzten Rechnerei: 1. Zahlen sind nicht Elemente von Vektorräumen. 2. Wenn alle Zahlen 0 sind, sind die Vektoren doch in 3. Wo beweist du, dass es nicht noch mehr Vektoren gibt, die in liegen ? Das ist bei dir reine Glückssache. Für Körper der Charakteristik 2 liegt mit sogar ein Vektorraum vor. Fazit: formal falsch, inhaltlich falsch, sachlich falsch. unglücklich
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Dann die Korrekturen:


a)
3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation: Sei
Dann ist , denn

Dann ist es doch der Beweis. Ich strecke oder verkürze einen Vektor (x,y) und diese Streckung oder Verkürzung muss auch in X_1 liegen. Ich hoffe a) ist jetzt "abgeschlossen" Big Laugh smile

Dann zu c)
Abgeschlossenheit der Addtion: Sei, da

Bei c) bin ich mir unsicher. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beides immer noch unvollständig und falsch. Du musst dir mal ein paar Aussagen und Beweise aus deiner Vorlesung ansehen. Schreibe immer alle Voraussetzungen auf, schreibe immer ganze Sätze, ziehe logische Schlußfolgerungen und bringe alle Aussagen in deinen Beweisen so in eine Reihenfolge, dass du und deine Leser nachvollziehen und verstehen, was du sagen willst. Mach keine halben Sachen, mach ganze Beweise. Unsicherheit entsteht vor allem dadurch, dass du keinerlei Implikation "" verwendest.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu a)

Sei : Dann ist , da

Ist es jetzt vollstständig verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ja ... und in diesem Stil die anderen 11 Teilaufgaben, dann bist du fertig. ABER: Warum schreibst du statt ? Es geht um einen ganz konkreten Vektorraum. Das wird spätestens bei wichtig, wie ich schon sagte.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Melanie233

Zu c) Hast du mal drüber nachgedacht, welche Punkte überhaupt in liegen. Augenzwinkern
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal9000: Ist das nicht ein Kreis um (0,0) mit Radius 0. Also nur der Nullpunkt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Melanie233
Also nur der Nullpunkt?

Exakt so ist es. Augenzwinkern
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Dann zu c) nochmal:
Abgeschlossenheit der Addtion: Sei dann ist , da

so die c)?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Du kannst es nicht über so eine Rechnung widerlegen. Du musst konkret zwei Elemente und beide in angeben, so dass nicht in liegt.

Nur weil es auf den ersten Blick nicht aussieht wie ein Vektorraum, heisst es nicht, dass es keiner ist.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Kannst du es mir bitte einmal vormachen, wie es geht bei der Addition bitte verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Ich kann es dir nicht vorführen, weil es ein Vektorraum ist. Du hast doch bereits gesagt . Es ist nur umständlich aufgeschrieben.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Ich verstehe das nicht. Ich will ja nachweisen, ob es Unterraum ist oder nicht: Da ich denke, dass es keiner ist, will ich die Abgeschlossenheit der Addition widerlegen: Dabei nehme ich (x,y) und (x*,y*) die in X3 liegen und muss nachweisen, dass (x+x*,y+y*) nicht in X3 liegt.
Oder ist es doch ein Untervektrorraum?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Wie gesagt, es ist ein Untervektorraum. Es ist . Und für und ist auch . D.h. es ist abgeschlossen unter Addition. Es gibt einfach keine Elemente, so dass deren Summe nicht in liegt.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum und Basis
Aso smile
Und wie kann man das allgemein hier sehen
Abgeschlossenheit der Addtion: Sei dann ist , da

D.h das 2xx*+2yy* muss noch irgendwie 0 werden verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt nicht allgemein, das gilt genau für (0,0), und mehr ist in X3 nicht enthalten. Du kommst mit Rechnen nicht weiter, da hilft nur Denken. Der Nullraum ist ein UVR. Fertig.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok gut. Dann ist X4 auch ein Untervektrorraum:
Da kann ich nicht mit(0,0) argumentieren. Es ist ja kein Nullraum:

Abgeschlossenheit der Addtion: Sei dann ist , da

Wie kann ich da weiter argumentieren?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch, du klebst immer noch an Gleichungen ohne dir Gedanken über Vektorraeume zu machen.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist klar, dass y=x sein muss oder y=-x. Ich habe hier die Winkelhalbiernden als Vektorraum. Wie kann ich dann den Beweis führen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist genau das Wissen aus der analytischen Geometrie, das du brauchst, um diese Aufgabe locker zu bearbeiten. Damit du eine Chance hast, erkläre ich dir jetzt ganz kurz das Wichtigste über 3-dimensionale Vektorräume über einem Körper . (Wenn du n statt 3 setzt, weißt du damit das Wichtigste über n-dimensionale -Vektorräume.)

Jeder Vektorraum hat eine Basis, das ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Alle Basen eines Vektorraumes haben dieselbe Mächtigkeit, das ist die Dimension des Vektorraumes. Hat der Vektorraum die Dimension 3, dann gibt es keine 4 linear unabhängigen Vektoren in . Jeder UVR ist ein Vektorraum, also hat jeder UVR des eine Basis aus 0,1,2 oder 3 Vektoren, hat also die Dimension 0,1,2 oder 3. Das sind im der Nullraum , Geraden durch den Nullpunkt, Ebenen durch den Nullpunkt und der ganze .

sind 2 verschiedene Geraden, also : ?

So simpel ist das, wenn man sich nicht von definierenden Gleichungen verwirren lässt sondern die Mengen betrachtet, die durch die Gleichungen definiert werden. (Lies Georg Cantor (Mengenlehre) und Gottlob Frege (Logik) - oder Bücher, die sich damit in moderner Sprache beschäftigen - dann bist du ganz schnell auf dem Stand der Mathematik um 1900. Es war ein Riesenfortschritt, den die Menschheit damals gemacht hat.)
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Erklräungsmile

Zitat:
Original von Elvis


sind 2 verschiedene Geraden, also : ?

Dann muss es eine Ebene sein. 2 verschiedene Geraden spannen eine Ebene auf.

Zum Nachweis:
, da 0+0=0.
2. Abgeschlossenheit der Addition: Jetzt wirds schon schwierig für mich. Wie geht das hier in dem Fall?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2 verschiedene Geraden durch den Nullpunkt sind 2 verschiedene Geraden durch den Nullpunkt. Die mengentheoretische Vereinigung von 2 verschiedenen Geraden durch den Nullpunkt sind 2 verschiedene Geraden durch den Nullpunkt. Das ist kein Vektorraum, also auch kein UVR von .

Die Ebene durch den Nullpunkt, die durch 2 vom Nullvektor verschiedene Vektoren, die nicht auf einer Geraden liegen, aufgespannt wird, unterscheidet sich offensichtlich von 2 Geraden. Die aufgespannte Ebene nennt man die Summe der beiden Vektorräume. Weil der Durchschnitt ist, nennt man die Summe direkt und schreibt . Eine Ebene durch den Nullpunkt ist eine Ebene durch den Nullpunkt, also ein UVR von .

Merke: Der Durchschnitt von UVRen X,Y ist immer ein UVR. Die Vereinigung von UVRen X,Y ist nicht immer ein UVR. Die Summe X+Y von UVRen ist immer ein UVR, sie ist der Durchschnitt aller UVRe, die X und Y enthalten.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
2 verschiedene Geraden durch den Nullpunkt sind 2 verschiedene Geraden durch den Nullpunkt. Die mengentheoretische Vereinigung von 2 verschiedenen Geraden durch den Nullpunkt sind 2 verschiedene Geraden durch den Nullpunkt. Das ist kein Vektorraum, also auch kein UVR von .

D.h ich habe kein UVR bei X4?

l
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie ich es noch deutlicher sagen kann. X4 ist die Vereinigung von 2 verschiedenen Geraden durch den Nullpunkt. Das ist nicht der Nullpunkt, keine Gerade, keine Ebene und auch nicht der ganze Raum. ALSO KEIN UVR.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich doch gemeint. Tut mir leid. Formal kann ich es nicht irgendwie begründen, sondern nur mit mit meinem geometrischeb Wissen oder
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch man kann alles, wenn man weiß, wie es geht. Wir wissen ja nun aufgrund unserer umfassenden Kenntnisse über UVRe, dass X4 kein UVR ist. Die 0 liegt in X4, also nicht leer. Nehmen wir einen Punkt auf einer Winkelhalbierenden, dann kann ich seinen Ortsvektor beliebig strecken ohne den X4 zu verlassen. Also abgeschlossen bezüglich skalarer Multiplikation. Daraus folgt, dass X4 bezüglich der Addition nicht abgeschlossen ist. Ein Gegenbeispiel genügt : (1,1)+(-1,1)=(0,2) liegt nicht auf einer Winkelhalbierenden.

(Ich kann auch rechnen, vermeide es aber lieber, wenn ich Probleme durch denken lösen kann. Augenzwinkern

Nachtrag: Das kommt dabei heraus, wenn ich anfange zu rechnen. Ich "meine" natürlich Big Laugh
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja smile )))) Es reicht ja Gegenbeispiel. Jetzt habe ich es endlich mal kapiert Big Laugh Big Laugh Big Laugh

Wenn ich jetzt zu meinen X_i eine Basis angeben will.

Bei X1 hätte ich die lineare Hülle von (1,0)
Bei X3 nach Defintion die leere Menge als Basis oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

X3 stimmt, X1 stimmt nicht - du kannst auch nicht besser rechnen als ich unglücklich

Rechnen ist bestimmt auch wichtig, aber mir ist sehr oft die Anschauung lieber als die Rechnung. Egal wie man es macht, es muss nur richtig sein. Beispielsweise die Entwicklung der Funktionentheorie im 19. Jahrhundert hat mich gelehrt, wie wertvoll die Anschauung ist. Weierstraß hat sich "einen Wolf gerechnet" mit seinen treudeutschen Potenzreihen, Cauchy hat auf die viel elegantere französische Art die Geometrie der komplexen Ebene benutzt. Beide haben Großes geleistet, beide Arten der Mathematik haben ihre Berechtigung und ergänzen sich gegenseitig. Topologie ohne Anschauung (Tammo tom Dieck) ist grausam, anschauliche Topologie (Klaus Jänich) ist süß.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, der Unterraum X1 ist ja die Gerade y=-x. D.h ich bräuchte die lineare Hülle von (-1,0) oder
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

... oder (1,-1) fröhlich Übe rechnen Lehrer
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sehe ich es auchtraurig
(1,0) liegt ja auf der x- Achse. Das bringt ja gar nichts. Ich sollte wirklich rechnen üben unglücklich geschockt
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Vllt können wir noch ein Beispiel zum UVR ansehen:

Ich habe folgendes :

Es ist ein UVR:
1)

2.) Abeschlossenheit der Addition:

Aus folgt, denn



3. Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation:
Sei Aus folgt , denn



Stimmt das. Ich hoffe es Hammer
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nur die 0 stimmt, ich bin mir aber nicht sicher ob du weißt, warum es stimmt. Die Abgeschlossenheit hast du nicht wirklich bewiesen. Der Witz bei dieser Aufgabe ist, dass . Damit muss du arbeiten, der Nullvektor liegt drin wegen 0=0.
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