Globales Minimum ohne Lagrange

26.11.2017, 13:46

Jefferson1992

Globales Minimum ohne Lagrange

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2+4xy+4x+2y^2+4y+x^3 \end{eqnarray*}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} |x|,|y|\leq 1.5 \end{eqnarray*}$

Habe schon rausgefunden, dass es keine lokalen Extrema gibt.

Globales Maximum konnte ich durch einsetzen bestimmen, da die Funktion für positive Werte immer größer wird. Habe also ein globales Maximum bei $\begin{eqnarray*} x=y=3/2 \end{eqnarray*}$

Wolfram Alpha sagt mir jetzt, dass es ein globales Minimum bei $\begin{eqnarray*} x=-1.5, y=0.5 \end{eqnarray*}$ gibt.

Wie komme ich darauf (ohne Lagrange)?

Danke!

26.11.2017, 14:29

HAL 9000

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Wenn es keine lokalen Extrema im Inneren des Gebiets gibt, dann liegen die globalen Extrema zwangsläufig auf dem Rand. Und da kannst du schlicht die vier Quadratkanten "abfahren", d.h., die vier eindimensionalen Funktionen

$\begin{align*} x\mapsto f(x,1.5) \end{align*}$ für $\begin{align*} x\in [-1.5,1.5] \end{align*}$

$\begin{align*} x\mapsto f(x,-1.5) \end{align*}$ für $\begin{align*} x\in [-1.5,1.5] \end{align*}$

$\begin{align*} y\mapsto f(1.5,y) \end{align*}$ für $\begin{align*} y\in [-1.5,1.5] \end{align*}$

$\begin{align*} y\mapsto f(-1.5,y) \end{align*}$ für $\begin{align*} y\in [-1.5,1.5] \end{align*}$

auf Extremwerte absuchen.

26.11.2017, 14:51

Jefferson1992

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okay, da stoße ich direkt mal auf ein Problem:

Der Fall (x, 1.5): da kriege ich:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+6x+4x+2.25+6+x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2+2x+10<br /> \end{eqnarray*}$
Und da erhalte ich ein Minus in der Wurzel. Also keine Extremstellen.

Aber (1.5,1.5) ist ein Maximum...

26.11.2017, 15:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jefferson1992
Also keine Extremstellen.

... im Inneren (!) des Intervalls, also im offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (-1.5,1.5) \end{eqnarray*}$ .

Die Randpunkte -1.5 und 1.5 sind natürlich extra zu untersuchen!

Es geht also Tippeltappeltour in den Dimensionen runter: Von der zweidimensionalen Gesamtfläche zu den eindimensionalen Randlinien. Deren Rand wiederum sind nulldimensionale Punkte - im vorliegenden Fall vier an der Zahl: (-1.5,-1.5) , (-1.5,1.5) , (1.5,-1.5) , (1.5,1.5) smile

26.11.2017, 15:10

Jefferson1992

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ah, klingt logisch. Dann mach ich das mal smile

Danke!

edit:

Ich versteh nicht so ganz. Wenn ich jetzt -1.5 und 1.5 mit der zweiten Ableitung prüfe, kommt da raus, dass es jeweils ein Minimum und ein Maximum gibt.

Muss ich das jetzt für alle Randpunkte machen und dann schauen, welches das größte Maximum und welches das kleinste Minimum ist?
Aber warum kriege ich auf dem Rand mehrere Extremstellen? Sind die dann nicht alle global? ..
Ich bin verwirrt..

26.11.2017, 15:28

Jefferson1992

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weiß nicht, inwiefern edit angezeigt wird..

26.11.2017, 17:50

HAL 9000

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Ich weiß gar nicht, wieso du hier überhaupt noch zweite Ableitungen betrachten willst - ist an sich vollkommen unnötig:

Nimm die Funktionswerte an den vier Eckpunkten sowie (sofern vorhanden) an den lokalen Extremstellen der vier von mir genannten eindimensionalen Extremwertprobleme. Aus diesem Pool mit überschaubar vielen Stellen und zugeordnet Funktionswerten wirst du doch wohl Minimum und Maximum herauspicken können - das ist alles, was noch zu tun ist, nachdem geklärt wurde, dass keine lokalen Extremstellen im Innern der Quadratfläche zu finden sind.

26.11.2017, 22:36

Jefferson1992

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vielen lieben Dank, Hat geklappt smile

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