Skalarprodukt

26.11.2017, 14:13	Tim_tim	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{b} = \|a\| \cdot \|b\| \cdot cos(phi) \end{eqnarray}$ Edit (mY+): LaTeX berichtigt. Bitte keine Zeilenumbrüche innerhalb des Terms!! gibt es dafür eine Herleitung? Wie kann ich mir merken, dass es sich um den Kosinus handelt?
26.11.2017, 16:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstverständlich gibt es Herleitungen, ganz schön viele. Am einfachsten ist die über die geometrische Definition des Skalarprduktes, als Produkt des Betrages des ersten Vektors mal der Länge der Projektion des ersten auf den zweiten Vektor. Die Länge dieser Projektion ist (aus dem rechtwinkeligen Dreieck) gleich dem Betrag des zweiten Vektors mal dem Cosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. [attach]45817[/attach] --------- Eine rein vektorielle Herleitung resultiert aus dem Cosinussatz. Dazu wird das Vektordreieck $\begin{eqnarray} \vec a, \vec b, \vec a - \vec b \end{eqnarray}$ verwendet. Dort ist $\begin{eqnarray} \|\vec a - \vec b\|^2 = \|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - 2\|\vec a\|\|\vec b\| \color {red}\cos \alpha \end{eqnarray}$ Kannst du das vollenden? Hinweis: Allgemein gilt: $\begin{eqnarray} \|\vec v\|^2 = \vec v^2 \end{eqnarray}$ mY+
26.11.2017, 20:42	Tim_tim	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt das so? $\begin{eqnarray} \| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b_a}\| \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \|b_a\| = \| \vec{b} \| \cdot cos(alpha) \end{eqnarray}$ mit Beispiel: $\begin{eqnarray} 5 \cdot 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \cdot cos(60) \end{eqnarray}$ bei beiden kommt 10 raus. was sagt mir die 10 aus? ___ und beim 2. verstehe ich leider schon nicht warum (a-b) quadriert wird. mit pythagoras hat das schließlich nichts zu tun. danach erkenne ich die binomische formel. aber da hört es leider schon auf :/ bzw bei wikepedia wird ja die herleitung des kosinussatz erklärt: https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz den Elementargeometrischer Beweis verstehe ich. jedoch wüsste ich bereits nicht, wie ich h ausrechnen kann, wenn mir a, b und c gegeben ist. vielleicht ist das auch völlig offtopic, aber ich glaube um das skalarprodukt zu verstehen brauche ich den kosinussatz und um den kosinussatz zu verstehen brauche ich das skalarprodukt..
26.11.2017, 20:56	Tim_tim	Auf diesen Beitrag antworten »
bzw wenn ich nach ab umstelle ergibt sich folgendes: $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac { \|\vec{a}\|^2 + \|\vec{b}\|^2 - \|\vec{a}-\vec{b}\|^2} {2} \end{eqnarray*}$ aber das ist wohl nicht das gesuchte..
26.11.2017, 22:03	Tim_tim	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich habe jetzt verstanden wofür man das skalarprodukt braucht, nämlich um herauszufinden ob 2 vektoren orthogonal aufeinander stehen. https://www.youtube.com/watch?v=8brtFh3ZfvM gibt es dafür beispielaufgaben? (ich verstehe sowas immer nur, wenn ich es einmal komplett selbst gerechnet habe) kann ich bei einem Dreieck bestehend aus vec a und vec b und vec a-b die höhe berechnen? letzendlich ist die höhe schließlich orthogonal zu der basis. und zudem schneidet sie den schnittpunkt zwischen zwei vektoren. gibts dafür beispielaufgaben? gerne auf irgendeine webseite verweisen. aber bis jetzt hab ich noch nichts gefunden, was das von anfang an mit anwendungsaufgaben erklärt. hat der Satz des Skalarproduktes einen Eigennamen? Sowas wie Satz den Satz den Pythagoras hinterfrage ich schließlich auch nicht.
27.11.2017, 00:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es tut mir Leid, ich habe im Erstpost den Faktor $\begin{eqnarray} \cos \alpha \end{eqnarray}$ vergessen, nicht umsonst ist ja vom Cos-Satz die Rede! Die Umstellung stimmt aber trotz des vergessenen cos-Faktors dennoch nicht. Schauen wir nochmals zum Beginn $\begin{eqnarray} \|\vec a - \vec b\|^2 = \|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - 2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos \alpha \end{eqnarray}$ Das ist einfach der Cos-Satz auf das Vektordreick oben angewandt. Wie der Cos-Satz zustandekommt, das ist jetzt eine andere Geschichte und diese ist bekannt. Er sagt jedenfalls aus, dass das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus deren doppelten Produkt mit dem Cos des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist. $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec a - \vec b)^2 = \vec a^2 + \vec b^2 - 2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos \alpha \end{eqnarray}$ Die Betragszeichen bei den Quadraten (!) können hier weggelassen werden, denn das Quadrat des Betrages eines Vektors ist gleich dem skalaren Produkt des Vektors mit sich selbst! So. Jetzt gilt auch das Distributivgesetz, d.h. man kann das Quadrat links wie bei einem Binom ausführen: $\begin{eqnarray} \vec a^2 - 2 \vec a \vec b + \vec b^2 = \vec a^2 + \vec b^2 - 2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2 \vec a \vec b = - 2\|\vec a\|\|\vec b\|\cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec a \vec b = \|\vec a\|\|\vec b\|\cos \alpha \end{eqnarray}$ Und dies wollten wir ja zeigen. ----------- h lässt sich übrigens ganz leicht berechnen, es ist ja $\begin{eqnarray} \sin \alpha = \frac h b \ \to \ h = b \sin \alpha \end{eqnarray}$ ----------- Zur besseren Übersicht habe ich die Skizze oben noch mit den Vektor $\begin{eqnarray} \vec a - \vec b \end{eqnarray}$ ergänzt. mY+
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