Unendliche Reihe Konvergenz

26.11.2017, 16:06

Kathreena

Unendliche Reihe Konvergenz

Untersuche die Reihe auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls die Werte (Summe) der Reihe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k \frac{3 \cdot 2401^k - 2 \cdot 7^{k+1}}{5 \cdot 16807^k} \end{eqnarray*}$

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Meine Idee:

Ich habs schon mit Quotientenkriterium und Wurzelkriterium versucht, aber ich schaffs nich hier weiter zukommen. Muss ich hier vorher irgendwas umformen oder kürzen?

Und die Summe der Reihe, ist damit der Grenzwert der Reihe gemeint ?

26.11.2017, 16:22

Leopold

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RE: unendliche Reihe Konvergenz

Zitat:

Original von Kathreena
Muss ich hier vorher irgendwas umformen oder kürzen?

Du "mußt" gar nichts. Du kannst die Aufgabe auf die Seite legen, dir einen Tee zubereiten und mit den Augen über die flackernde Kerze hinweg den Schneeflocken draußen folgen.

Nein, im Ernst! Frage nicht, was du tun sollst, sondern tu es. Probiere einfach verschiedene Dinge aus, Stichworte hast du genannt. Wenn sie zum Ziel führen, ist es gut. Wenn nicht, dann probiere etwas anderes.

26.11.2017, 16:23

HAL 9000

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Das ganze ist die Summe bzw. Differenz zweier Reihen vom selben Typ $\begin{align*} c\sum_{k=1}^{\infty} kq^k \end{align*}$ mit $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ . Deren Konvergenz, ja und auch dann die Reihensumme, kann und sollte man in einer Nebenrechnung bestimmen.

26.11.2017, 16:46

Kathreena

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Hab einen fehler gemacht, das k gehört nich dazu, das hat der Formeleditor beim erstellen des Summenzeichens reingeworfen, also so schaut die Reihe aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2401^k - 2 \cdot 7^{k+1}}{5 \cdot 16807^k} \end{eqnarray*}$

Also ok, ich könnte es so schreiben ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2401^k }{5 \cdot 16807^k} - \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{ 2 \cdot 7^{k+1} }{5 \cdot 16807^k} \end{eqnarray*}$

Ich glaub dann sollte das schaffbar sein.

26.11.2017, 17:18

HAL 9000

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Das andere ist auch schaffbar, aber so ist es natürlich noch einfacher. Augenzwinkern

26.11.2017, 20:25

Kathreena

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Ich hab nun noch ein problem bei einer anderen Reihe, wegen der Summe ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k^{1/k} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nich welche Formel ich hier brauche. Irgendwie ist die Reihe weder Arithmetisch noch Geometrisch ?? smile

26.11.2017, 20:48

HAL 9000

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Jedenfalls ist sie divergent, schlicht weil die Reihenglieder keine Nullfolge bilden - tatsächlich sind sie sogar alle >1 . Und damit ist die Reihe bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

26.11.2017, 21:03

Kathreena

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Komisch, ich hätte gedacht sie konvergiert gegen 1, weil wenn k gegen unendlich geht, dann steht ja:

$\begin{eqnarray*} \infty ^0 = 1 \end{eqnarray*}$

26.11.2017, 21:08

HAL 9000

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Kann es sein, dass du Konvergenz der Reihe mit Konvergenz der Reihenglieder verwechselst? Und das, obwohl ich so detailliert auf beides in meinem letzten Beitrag eingegangen bin? unglücklich

26.11.2017, 21:10

Kathreena

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Ja kann sein, ich habe in meinem Kopf verankert, das wenn die Folgenglieder konvergieren, dann konvergiert auch die Reihe.

27.11.2017, 08:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Komisch, ich hätte gedacht sie konvergiert gegen 1, weil wenn k gegen unendlich geht, dann steht ja:

$\begin{eqnarray*} \infty ^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Ah ja. Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(2^n \right)^{\frac 1 n} \end{eqnarray*}$ ?

27.11.2017, 10:30

Kathreena

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Da würde ich zuerst die Hochzahlen ausmultiplizieren, bevor ich den Limes ausrechne. Dann kommt 2 raus.

Also ich weiß nun das das Nullfolgenkriterium erfüllt sein muss, damit überhaupt konvergenz in Frage kommt, deswegen versteh ich nun auch warum $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} k^{1/k} \end{eqnarray*}$ divergiert.

27.11.2017, 10:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Da würde ich zuerst die Hochzahlen ausmultiplizieren, bevor ich den Limes ausrechne. Dann kommt 2 raus.

Mir ging es darum, daß "Regeln" wie $\begin{eqnarray*} \infty^0 = 1 \end{eqnarray*}$ schnell in der tiefsten Schublade verschwinden, weil sie keine mathematisch belastbare Relevanz haben. smile

27.11.2017, 12:09

Leopold

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Zitat:

Original von klarsoweit
Mir ging es darum, daß "Regeln" wie $\begin{eqnarray*} \infty^0 = 1 \end{eqnarray*}$ schnell in der tiefsten Schublade verschwinden, weil sie keine mathematisch belastbare Relevanz haben. smile

Hübsch ausgedrückt für "weil sie grottenfalsch sind". Augenzwinkern

27.11.2017, 20:20

Kathreena

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Sorry, total blödsinn geschrieben.

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