Wurzel vereinfachen

26.11.2017, 19:18

mojili

Wurzel vereinfachen

Meine Frage:
Kann man folgenden Term noch weiter vereinfachen?

(k-te Wurzel aus 9) - ((k+1)-te Wurzel aus 9)

Meine Ideen:
man kann es umschreiben als Potenzen
9^(1/k) - 9^(1/(k+1))

Danke für Eure Hilfe ! smile

26.11.2017, 19:24

Equester

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Genau, das ist richtig Freude

26.11.2017, 19:27

mojili

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kann man noch irgendetwas ausklammern?

26.11.2017, 20:19

Equester

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Sry, ich war essen.

Nein, eine sinnvolle Vereinfachung sehe ich nicht.

26.11.2017, 20:25

mojili

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Danke für die Antwort smile

Problem ist, dass ich den Wert der unendlichen Reihe ausrechnen soll.
Dabei ist k-te Wurzel aus 9 - k+1-te Wurzel 9 die Folge und
man soll den Wert der unendlichen Summe über dieser Folge bestimmen.

26.11.2017, 20:44

Equester

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Setze doch mal ein paar Werte ein?! Was siehst du?
Eventuell ist auch der Begriff Teleskopsumme schon gefallen Augenzwinkern

26.11.2017, 21:31

mojili

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also durch Einsetzen schätze ich , dass die Reihe gegen 2 konvergiert.
Von Teleskopsummen hab ich schon mal gehört,
leider seh ich hier in diesem Beispiel aber den Zusammenhang nicht.
Wäre für weitere Hilfe sehr dankbar.

26.11.2017, 21:42

Equester

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Wie hast du denn eingesetzt? Zeig mal her.

Schau dann nochmals nach wie Teleskopsummen definiert sind. Spätestens mit dem Einsetzen sollte klar werden, welche Rolle diese hier spielen Augenzwinkern

.

Bin aber bereits im Bett. Muss morgrn sehr früh raus. Schaue dann wieder rein, sollte sich niemand anderes gefunden haben.

Zur Kontrolle. Du solltest auf 8 kommen Augenzwinkern

.

Gute Nacht

26.11.2017, 21:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Equester
Zur Kontrolle. Du solltest auf 8 kommen Augenzwinkern

Zumindest bei angenommenen Startindex k=1 der Reihe. Bisher hat sich ja mojili zum Startindex nicht geäußert.

26.11.2017, 21:58

mojili

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Also ich hab gerade nachgeschaut, welche Form eine Teleskopsumme hat.
Das ist die Summe von (ak - ak+1) von k = 1 bis unendlich.
also in diesem Fall ist ak = k-te Wurzel aus 9
Der Startwert soll k = 2 sein.
Bei der Teleskopsumme kann man verschiedene Summanden zusammenfassen,
ich weiß jetzt aber nicht genau, wie das geht.
Kann mir jemand weiterhelfen?

27.11.2017, 07:02

Equester

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Du sagst doch k = 1 bis unendlich und nun soll der Startwert k = 2 sein?

Zeig doch mal wie du die ersten Glieder der Summe ausschreibst und zusammenfasst. Was erkennen wir?

27.11.2017, 07:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Equester
Du sagst doch k = 1 bis unendlich

Das ist sicher nur das, was er zum Thema "Teleskopsumme" nachgeschaut hat (Wikipedia oder sonstwo). In einer ausführlicheren Darstellung würde das wohl deutlicher werden, aber mojili ist (wie viele Fragesteller hier) wohl ziemlich maulfaul, wenn es um die wirklich wichtigen Fakten geht.

27.11.2017, 08:28

Equester

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Achso, das hatte ich in der morgendlichen Früh überlesen.

Dann passt die Abschätzung mit 2. Vielleicht willst du nochmals darlegen wie du drauf gekommen bist? Damit wir sehen, dass das Verstanden und nicht Geraten wurde Augenzwinkern

27.11.2017, 10:18

mojili

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Verstanden habe ich es nicht!
Ich hatte mir nur ein kleines Programm geschrieben,
das die ersten 100 Folgenglieder aufsummiert und so
konnte ich es dann abschätzen.
Wie das mit der Teleskopsumme funktioniert in diesem konkreten
Beispiel, ist mir ein Rätsel.
Ich hab nur verstanden, das man bei der Teleskopsumme
verschiedene Summanden zusammenfasst, aber wie genau -
keine Ahnung.
Danke für die Hilfe.

27.11.2017, 10:28

HAL 9000

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Da müssen wir wohl die Buntstifte rausholen: Es ist

$\begin{align*} \sum_{k=2}^n \left( \sqrt[k]{9} - \sqrt[k+1]{9}\right) = \left( \sqrt[2]{9} - {\color{red}\sqrt[3]{9}}\right) + \left( {\color{red}\sqrt[3]{9}} - {\color{blue} \sqrt[4]{9}}\right) + \left( {\color{blue}\sqrt[4]{9}} - \sqrt[5]{9}\right) + \ldots + \left( \sqrt[n-1]{9} - {\color{green}\sqrt[n]{9}}\right) + \left( {\color{green}\sqrt[n]{9}} - \sqrt[n+1]{9}\right) \end{align*}$

Was bleibt übrig? Nun einfach $\begin{align*} \sum_{k=2}^n \left( \sqrt[k]{9} - \sqrt[k+1]{9}\right) = \sqrt[2]{9} - \sqrt[n+1]{9} \end{align*}$ .

Und der Reihenwert ist einfach der Grenzwert $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ dieses Partialsummenwerts, d.h.,

$\begin{align*} \sum_{k=2}^\infty \left( \sqrt[k]{9} - \sqrt[k+1]{9}\right) = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=2}^n \left( \sqrt[k]{9} - \sqrt[k+1]{9}\right) = \sqrt[2]{9} - \lim_{n\to\infty} \sqrt[n+1]{9} = 3-1 = 2 \end{align*}$ .

27.11.2017, 10:28

Equester

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Warum folgst du dann nicht meinem mehrfachen Ratschlag und schreibst die ersten paar Folgeglieder einfach mal hier ins Forum oder zumindest auf ein Blatt Papier? Da kommt dann das Verständnis schon fast von allein?! Vergiss auch gern mal für einen Moment das Stichwort "Teleskopsumme". Geht auch ohne Wissen um diese, um das Prinzip zu verstehen.

Also bitte schreibe mal die ersten drei Glieder auf. Wie sieht das aus? Was erkennst du?

30.11.2017, 13:37

mojili

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Achso!!!
Jetzt habe ich das Prinzip verstanden!!
Vielen, vielen Dank;
das war sehr hilfreich smile

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