Folgen, Beweis gesucht

26.11.2017, 19:51	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen, Beweis gesucht $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n \geq b_n , \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} b_n = + \infty \end{eqnarray}$ Zeige das $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = + \infty \end{eqnarray}$ ____________________________________ Meine Idee: Also ich kanns natürlich nur logisch erklären, das wenn $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ schon gegen unendlich geht, und $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ aber noch größer oder gleichgroß wie $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ sein muss, dann kann $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nur gegen unendlich gehen. Sonst wäre $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ja automatisch kleiner. Nur wie schreibe ich das so als Beweis hin, das ich alle Zweifel widerlege. Wahrscheinlich mit einem Widerspruch, also ich zeige das es garnich anders möglich ist. Dann sage ich das $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt ist. Also besitzt $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ein supremum. $\begin{eqnarray} \forall a \in (a_n) : a \leq s \end{eqnarray}$ s ist die obere Schranke. und für $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ gilt ja nach oben unbeschränkt. $\begin{eqnarray} \exists b \in (b_n) : b > s \end{eqnarray}$ Und hier hab ich immer Werte in der Menge, die größer als die Schranke sind, egal wie groß ich die Schranke wähle. Daraus folgt dann das: $\begin{eqnarray} a_n < b_n \end{eqnarray}$ So, wahrscheinlich reicht das nich aus.
26.11.2017, 20:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geh nicht danach, was du dir unter $\begin{align} \lim_{n\to\infty} b_n = \infty \end{align}$ so vage vorstellst, sondern streng nach Definition: Das bedeutet nämlich, dass man für jede reelle Zahl $\begin{align} s \end{align}$ einen Index $\begin{align} n_0 \end{align}$ findet, so dass $\begin{align} b_n\geq s \end{align}$ für alle (!) $\begin{align} n\geq n_0 \end{align}$ gilt. Das ist mehr als bloße Unbeschränktheit der Folge $\begin{align} (b_n) \end{align}$ ! Und der Beweis ist damit ein leichtes.
26.11.2017, 21:01	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} b_n = + \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall s\in {\mathbb {N}}\ :\exists n_0\in {\mathbb {N}} : \forall n>n_0 :b_{n}>s \end{eqnarray}$ Heißt, die Folge $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ überschreitet irgendwann jede natürliche Zahl und bleibt darüber. Wenn also gilt das: $\begin{eqnarray} a_n \geq b_n \end{eqnarray}$ Dann gilt auch: $\begin{eqnarray} a_n \geq b_n > s \end{eqnarray}$ Also folgt daraus: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = + \infty \end{eqnarray}$ So richtig ?

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