(f(x)+f(y))/2 - Punkt zwischen x und y

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27.11.2017, 13:24	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
(f(x)+f(y))/2 - Punkt zwischen x und y Meine Frage: Es seien $\begin{eqnarray} I \subset R \end{eqnarray}$ ein Intervall und $\begin{eqnarray} f: {I \to R} \end{eqnarray}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Beweisen Sie, dass es für alle $\begin{eqnarray} x, y \in I \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zwischen x und y gibt, sodass: $\begin{eqnarray} \frac{f(x)+f(y)}{2} = f(\frac{x+y}{2}) + \frac{x+y}{8} \cdot f^{''} (\alpha) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe bisher echt keine Idee, wie ich das angehen könnte. Zugegeben hinke ich im Stoff auch hinterher, was dafür wohl ein Grund sein dürfte. Ich bin zwar gerade dabei den Stoff nachzuarbeiten, dennoch wollen die Übungsblätter gemacht werden. Wäre also toll, wenn mir dennoch jemand helfen könnte. Vielen Dank im Voraus
27.11.2017, 13:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Behauptung ist falsch! Nehmen wir als Beispiel die Funktion $\begin{align} f(x)=x^2 \end{align}$ sowie $\begin{align} y=-x \end{align}$ . Dann ist $\begin{align} \frac{f(x)+f(y)}{2} = \frac{f(x)+f(-x)}{2} = x^2 \end{align}$ sowie $\begin{align} f\left(\frac{x+y}{2}\right) + \frac{x+y}{8}\cdot f''(\alpha) = f(0)+0\cdot 2 = 0 \end{align}$ . Sieht irgendwie nicht gleich aus.
27.11.2017, 13:54	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler in der Aufgabe Sorry, ich sehe gerade erst, dass ich einen kleinen Fehler gemacht habe Es müsste heißen $\begin{eqnarray} \frac{(x-y)^2}{8} \end{eqnarray}$ Das dürfte doch einiges ändern Verzeihung, da war ich unaufmerksam
27.11.2017, 13:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das ist falsch. Mit $\begin{eqnarray} \frac{(x-y)^2}{8} \end{eqnarray}$ könnte es vielleicht was werden... EDIT: Aha, du hast es schon selbst korrigiert.
27.11.2017, 13:56	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man Ja, hab ich noch mal korrigiert Da war ich echt neben der Spur
27.11.2017, 14:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du zum Beweis die Taylorsche Formel mit Lagrange-Restglied benutzen? D.h., ist die als bekannt voraussetzbar?
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27.11.2017, 15:05	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in meinem Skript habe ich es jetzt nicht gefunden, aber beim Durchforsten des Interenets bin ich auch schon drauf gestossen Ich vermute, dass es darauf hinausläuft
27.11.2017, 15:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gut: Es sei o.B.d.A. $\begin{align} x<y \end{align}$ , für $\begin{align} x=y \end{align}$ ist die Behauptung trivial. Die Taylorformel erster Ordnung im Entwicklungspunkt $\begin{align} x_0=\frac{x+y}{2} \end{align}$ und mit ebenjenem Lagrange-Restglied zweiter Ordnung liefert $\begin{align} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot h + \frac{f''(x_0+\vartheta h)}{2}\cdot h^2 \end{align}$ mit einem von $\begin{align} h \end{align}$ abhängigen Wert $\begin{align} \vartheta\in (0,1) \end{align}$ . Das ganze nutzen wir nun einmal für $\begin{align} h=d:=\frac{y-x}{2} \end{align}$ und dann nochmal für $\begin{align} h=-d \end{align}$ , bekommen auf diese Weise zwei i.a. verschiedene $\begin{align} \vartheta \end{align}$ -Werte: $\begin{align} f(y) &= f(x_0) + f'(x_0)\dot d + \frac{f''(x_0+\vartheta_1 d)}{2}\cdot d^2<br /> f(x) &= f(x_0) - f'(x_0)\dot d + \frac{f''(x_0-\vartheta_2 d)}{2}\cdot d^2 \end{align}$ , was summiert und durch 2 geteilt dann $\begin{align} \frac{f(x)+f(y)}{2} = f\left( \frac{x+y}{2}\right) + \frac{f''(x_0+\vartheta_1 d)+f''(x_0-\vartheta_2 d)}{16}\cdot (y-x)^2 \end{align}$ bedeutet. Sieht jetzt fast schon so aus wie deine Behauptung, es muss "nur" noch nachgewiesen werden, dass es ein $\begin{align} \alpha\in (x,y) \end{align}$ gibt mit $\begin{align} f''(x_0+\vartheta_1 d)+f''(x_0-\vartheta_2 d) = 2f''(\alpha) \end{align}$ , und das gelingt mit dem Zwischenwertsatz...
27.11.2017, 16:25	Ulysses133	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke sehr Dann setze ich mich jetzt mal an diesen letzten Schritt

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