Gleichungen mit komplexen Zahlen

27.11.2017, 15:37

Croomer

Gleichungen mit komplexen Zahlen

Meine Frage:
(a) Sei $\begin{eqnarray*} w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , die die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{2}=w \end{eqnarray*}$ lösen.

(b) Seien $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie folgende Aussagen.

(i) Falls $\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}}{4} = q \end{eqnarray*}$ , dann existiert genau eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{2}+pz+q=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
(ii) Falls $\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}}{4} \neq q \end{eqnarray*}$ , dann existieren genau zwei Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{2}+pz+q=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Für die (a) habe ich mir folgendes überlegt:
z:=a+ib und w:=c+id also $\begin{eqnarray*} z^{2}=a^{2}-b^{2}+i2ab=c+id=w \end{eqnarray*}$ . Daraus habe ich zwei Gelchungen gemacht:
*: 2ab=d <=> a=d/(2b)
**: $\begin{eqnarray*} a^{2}-b^{2}=c \end{eqnarray*}$
* in ** einsetzen: $\begin{eqnarray*} (\frac{d}{2b})^{2}-b^{2}=c <=> 4b^{4}+4cb^{2}-d^{2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b^{2}_{1/2}=\frac{-4c \pm \sqrt{(4c)^{2}+4*4*d^{2}} }{8} \end{eqnarray*}$
Da hab ich mir einfach mal alle Fälle angeschaut:
$\begin{eqnarray*} 1. c=d=0: b_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. c=0; d \neq 0: b_{21}=\sqrt{\frac{d}{2}}; b_{22}=\sqrt{\frac{-d}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3. d=0; c \neq 0: b_{31}=\sqrt{-c}; b_{32}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4. c \neq 0; d \neq 0: b_{41}=\sqrt{-c-\sqrt{c^{2}+d^{2}}}; b_{42}=\sqrt{-c+\sqrt{c^{2}+d^{2}}} \end{eqnarray*}$
Als lösung kommen ja nur $\begin{eqnarray*} b_{21}; b_{42} \end{eqnarray*}$ in Frage, bei den anderen "Lösungen" habe ich entweder eine negative Zahl unter der Wurzel oder teile bei der Berechnung von a=d/(2b) durch 0.
Das sollte ja so stimmen.

(b)
$\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}}{4} = q: \frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4*\frac{p^{2}}{4}}}{2}=\frac{-p}{2} \end{eqnarray*}$ Die Lösung ist eindeutig.

$\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}}{4} \neq q: \frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}=\frac{-p \pm \sqrt{x}}{2} \end{eqnarray*}$ Wobei x:=pp-4q. In diesem Fall gibt es - wie man in (a) sieht - 2 Lösungen.

Darf man mit den komplexen Zahlen überhaupt so rechnen?
Wir haben die Mitternachtsformel nie hergeleitet. Wenn ich $\begin{eqnarray*} x^{2}+px+q=0 \end{eqnarray*}$ einfach umforme, bis ich auf die Form der Mitternachtsformel komme, zählt das dann auch für die komplexen Zahlen? Ich mache ja ledigleich äquivalenzumformungen, da ist es ja egal ob ich Zahlen aus dem Körper der reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen einsetze, oder?

27.11.2017, 15:44

HAL 9000

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Die Aufgabe ist ja so angelegt, dass du (a) in (b) hilfreich einsetzen kannst:

Quadratische Ergänzung in (b) liefert $\begin{align*} 0 =z^2+pz+q = \left(z + \frac{p}{2}\right)^2 + q-\frac{p^2}{4} \end{align*}$ , also

$\begin{align*} z'^2 = w \end{align*}$ mit $\begin{align*} z':=z+\frac{p}{2} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} w:=\frac{p^2}{4}-q \end{align*}$ .

Und dann die Erkenntnisse von (a) anwenden! Die Aufgabensteller denken sich schon was dabei. Augenzwinkern

27.11.2017, 16:21

Croomer

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Dann hätte ich ja
$\begin{eqnarray*} (z+\frac{p}{2})^{2}=\frac{p^{2}}{4}-q <=> z^{2}=w \end{eqnarray*}$

Gilt $\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}}{4}=q \end{eqnarray*}$ , dann ist w=0, aus (a) ergibt sich als Lösung b=0

Das verstehe ich jetzt um ehrlich zu sein nicht ganz:
In (a) habe ich ja gesagt, dass b=0 keine Lösung ist, weil ich sonst durch 0 teilen müsste. Aber a=0 und b=0 sind ja eigentlich eine Lösung (0+i0=0+i0).
Das ist ja irgendiwe widersprüchlich, oder nicht?
Wenn ich davon ausgehe, dass b=0 eine Lösung ist, habe ich eine Lösung. (Und in (a) drei Lösungen)

Im Fall $\begin{eqnarray*} \frac{p^{2}}{4} \neq q \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} w \neq 0 \end{eqnarray*}$ , also habe ich nach (a) zwei Lösungen.

27.11.2017, 17:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Croomer
In (a) habe ich ja gesagt, dass b=0 keine Lösung ist, weil ich sonst durch 0 teilen müsste. Aber a=0 und b=0 sind ja eigentlich eine Lösung (0+i0=0+i0).
Das ist ja irgendiwe widersprüchlich, oder nicht?

Allerdings.

Was auch immer du hier wirr hin- und herüberlegst, am Ende sollte die Erkenntnis stehen, dass $\begin{eqnarray*} z^2=w \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} w=0 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung hat (nämlich $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ ), im Fall $\begin{eqnarray*} w\neq 0 \end{eqnarray*}$ hingegen genau zwei Lösungen, die beide ungleich Null sind und sich nur im Vorzeichen voneinander unterscheiden.

Was übrigens deinen Ansatz $\begin{eqnarray*} (a+bi)^2 = c+di \end{eqnarray*}$ in a) betrifft: Leopold hat das vor längerer Zeit mal mit größerer Sorgfalt hinsichtlich der auftretenden Fälle ausgearbeitet. Augenzwinkern

27.11.2017, 20:31

Croomer

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Ich hab mir den Link angeschaut, aber das ist ja "nur" ein Diskussionsthread, der konnte mir leider auch nicht wirklich weiter helfen.

Ich muss ja aber irgendwo einen Fehler gemacht haben, weil ich auf ein falsches Ergebnis komme.
Ich habe ja 2 reelle Gleichungen - komplexe Zahlen kommen da ja garnicht mehr direkt vor.

Ich habs auch nochmal komplett neu durchgerechnet mit den beiden Gleichungen, ich komme wieder auf was falsches :/

27.11.2017, 23:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Croomer
Ich hab mir den Link angeschaut, aber das ist ja "nur" ein Diskussionsthread, der konnte mir leider auch nicht wirklich weiter helfen.

Dann musst du blind sein - ich habe punktgenau den genau passenden Beitrag verlinkt. Forum Kloppe

28.11.2017, 00:15

Croomer

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Die Formel, mit der ich auf die 3 Ergebnisse komme, sehe ich schon, aber ich verstehe nicht wie man auf die Formel kommt.
Ich verstehe auch nicht, wieso sign(y) 1 oder -1 ist, wenn y=0 ist :/

Der einzige Tipp, den wir vom Prof. bekommen haben, ist dass wir z=a+ib setzen sollen und das nichtlineare Gleichungssystem lösen sollen.

28.11.2017, 07:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Croomer
Ich verstehe auch nicht, wieso sign(y) 1 oder -1 ist, wenn y=0 ist :/

Es steht nirgendwo in dem Beitrag, dass die Signumfunktion umdefiniert werden soll. Deute also bitte NICHT etwas dort hinein, was nicht dort steht! unglücklich

Sondern es steht dort, dass das verwendete $\begin{align*} s \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ als $\begin{align*} s=1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} s=-1 \end{align*}$ gewählt werden soll. Und just diesen Spezialfall $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ kann man sich ja nun wirklich einfach klar machen: Das sind die komplexen Wurzeln aus reellen Zahlen $\begin{align*} x \end{align*}$ !

Und da kommen im Fall $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ die reellen Werte $\begin{align*} \pm\sqrt{x} \end{align*}$ , und im Fall $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ die rein imaginären Werte $\begin{align*} \pm i\sqrt{-x} \end{align*}$ heraus. Und speziell für letzteres ist dieses s=1 oder s=-1 in dieser Formel zwingend erforderlich, mit $\begin{align*} s=\operatorname{sgn}(0)=0 \end{align*}$ klappt es NICHT.

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