Abbildung R2 nach R3, Ebene als 3D Objekt abbilden?

27.11.2017, 19:49	Der Fragendendende	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung R2 nach R3, Ebene als 3D Objekt abbilden? Meine Frage: Hallo ich habe eine allgemeinere Frage: Kann eine Funktion, welche von einem zweidimensionalen Raum in den dreidimensionalen Raum abbildet, ein zweidimensionales Objekt, also eine Ebene, so abbilden, dass das Bild im dreidimensionalen Raum auch ein dreidimensionales Objekt wie eine Kugel oder ähnliches ist? Meine Ideen: Allgemein $\begin{eqnarray} K^{2} -> K^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Generell werden ja zunächst immer einzelne Punkte bzw. Vektoren auf andere abgebildet und nicht komplette Objekte, also eine Vielzahl von Punkten. Jetzt mal ganz naiv ausgedrückt, wenn ich 1000 Vektoren aus dem $\begin{eqnarray} K^{2} \end{eqnarray}$ , welche eine geschlossene Ebene gebildet haben, in den $\begin{eqnarray} K^{3} \end{eqnarray}$ abbilde, könnten diese 1000 Punkte ja je nach Funktionsvorschift so abgebildet werden, dass diese eine wenn auch vll "kleinere" Kugel oder ein Quader oder sonst was ergeben. Dabei könnte man natürlich noch unterscheiden, welcher Körper zugrunde liegt und man da eine Fallunterscheidung machen könnte. Wenn man beispielsweise aus einem endlichen Körper in einen unendlichen abbildet, so hätte man endliche viele Bildvektoren zur Verfügung, um beispielsweise die Oberfläche einer Kugel zu füllen. Diese würde doch aber auch im unendlichen Körper aus unendlich vielen Vektoren bestehen oder? Ganz zu schweigen davon, wenn man die Kugel auch noch füllen wollen würde. Von einem endlichen Körper in einen anderen endlichen Körper könnte ich mir gut vorstellen, dass dies möglich ist. Von einem unendlichen Körper in einen anderen unendlichen Körper abgebildet könnte ich es mir ebenfalls gut vorstellen, da man bestimmte dazu eine Abbildung dazu finden könn, welche die Vektoren aus dem Teil der Ebene in einen Teil des dreidimensionalen Raums praktisch "bijektiv" abbildet. Danke für jede Antwort
27.11.2017, 20:02	Der Fragendendende	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich befürchte ich habe das falsche Unterforum gewählt und der Thread müsste in die Algebra.
27.11.2017, 20:24	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon und hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Kurve Wenn du eine "hinreichend schöne" bzw. "hinreichend glatte" Abbildung haben willst, also seien wir mal anspruchsvoll: differenzierbar und die Jacobi-Matrix hat immer vollen Rang ('Immersion' heißt das glaube ich), dann geht sowas aber nicht. Das Bild einer Abbildung \|R^n->\|R^m ist dann immer n-dimensional. Wenn dein Ausgangsraum endlich ist, dann kannst du mit einer Abbildung (!) auch nur endlich viele Punkte treffen (denn für jede x-Stelle existiert ja per definitionem genau ein y-Wert). Treffen meine Antworten deine Fragen? Wenn nein, dann präzisiere. Grüße sibelius84
27.11.2017, 23:07	Der Fragendendende	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen dank für deine Antwort.
27.11.2017, 23:20	Der Fragendendende	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja und (sry für den Doppelpost) nochmal danke für den Hinweis auf das Paradoxon. Interessanter Hinweis und hat meine Vorstellung eetwas vorwärts gebracht.

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