Vollständige Induktion

27.11.2017, 19:57	Gweni	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Meine Frage: Hallo an Alle, ich schaffe den Beweis folgender Induktion nicht: Für alle n >= 1 $\begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{{-1}^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ Vielleicht kann jemand helfen? Ich wäre sehr dankbar! Viele Grüße, Gweni Meine Ideen: Induktionsanfang sowie Induktionsvoraussetzung bekomme ich hin nur fehlt die Beweisführung
27.11.2017, 20:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammern!!! Es muss $\begin{eqnarray} \displaystyle\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \displaystyle\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray}$ heißen.
27.11.2017, 20:24	Gweni	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klammern!!! Stimmt!!
28.11.2017, 13:41	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Klammern!!! Die zu zeigende Aussage ist offenbar äquivalent zu: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}k=\sum_{k=1}^n\frac 1{n+k}. \end{eqnarray}$ Und das lässt sich ganz straight, ohne irgendwelche besonderen Tricks oder Kniffe, per Induktion beweisen. Fang einfach mal damit an. Zur Inspiration sei Dir nicht vorenthalten, dass die Aussage sich auch (m.E. einfacher) durch eine direkte Rechnung beweisen liesse. Denn einerseits gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}k=\sum_{k=1}^{2n}\frac 1k-2\sum_{k=1}^n\frac 1{2k} \end{eqnarray}$ und andererseits gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n\frac 1{n+k}=\sum_{k=1}^{2n}\frac 1k-\sum_{k=1}^n\frac 1k. \end{eqnarray}$

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