Duale Basis der Standardbasis

27.11.2017, 21:42

Olaf777

Duale Basis der Standardbasis

Hallo!

Ich muss folgendes, s. Bild, zeigen
i.imgur.com/5ycwEOh.jpg

Ich fühle mich in Lineare Algebra überhaupt nicht sicher. Ich weiß zwar was die einzelnen Begriffe wie Standardbasis usw bedeuten, habe aber keine Ahnung wie ich das ganze zeigen soll Hammer

27.11.2017, 21:53

sibelius84

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Hi,

in Spendierlaune schreib ich heute mal eine Definition hin:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}:=(v_1,\ldots,v_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V, so heißt eine Basis $\begin{eqnarray*} (\varphi_1,\ldots,\varphi_n) \end{eqnarray*}$ von V* die zu $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ duale Basis, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \varphi_j(x_j) = 1, j=1,\ldots, n \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \varphi_i(x_j) = 0, i,j=1,\ldots, n, i\neq j \end{eqnarray*}$ .

Das musst du einfach durch Einsetzen und Nachrechnen überprüfen.

Grüße
sibelius84

27.11.2017, 22:15

Olaf777

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Zitat:

Original von sibelius84
Hi,

in Spendierlaune schreib ich heute mal eine Definition hin:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}:=(v_1,\ldots,v_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis von V, so heißt eine Basis $\begin{eqnarray*} (\varphi_1,\ldots,\varphi_n) \end{eqnarray*}$ von V* die zu $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ duale Basis, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \varphi_j(x_j) = 1, j=1,\ldots, n \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \varphi_i(x_j) = 0, i,j=1,\ldots, n, i\neq j \end{eqnarray*}$ .

Das musst du einfach durch Einsetzen und Nachrechnen überprüfen.

Grüße
sibelius84

Die definition ist mir bekannt, die habe ich auch so im Skriptum stehen (mit dem Kronecker Symbol) aber ees hapert bei mir daran, dass ich nicht weiß was genau ich jetzt tun soll. Ich weiß nicht was genau ich wo einsetzen muss

27.11.2017, 22:28

sibelius84

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Also, V* bezeichnet ja den Raum aller Linearformen von V nach |K. Also wenn man ein Element aus V* hat, dann kann man Elemente aus V dort einsetzen.

Etwa $\begin{eqnarray*} e_2^\ast \left(\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 13 \end{pmatrix}\right) = 7 \end{eqnarray*}$ . Diese "Auswertungsabbildungen" e_j ziehen sich einfach genau die j-te Koordinate des Vektors raus.

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