Skalares Potential, Beweis

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lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Skalares Potential, Beweis
Meine Frage:
Hallo,

Ich bin auf folgendes Skalarpotential-Kriterium gestoßen:
Es sei V: O -> R^3 ein stetig diffbares Vektorfeld mit rotV = 0 auf ganz 0. Dann exisitert ein Skalarpotential g: O -> R^3 mit grad(g) = V.

Mir ist das "auf ganz O" wichtig. Ich habe nämlich ein VF, das nicht auf ganz O definiert ist und da gilt das Kriterium ebenso.

Meine Ideen:
Ich konnte außer folgenden keinen einzigen Beweis zum Satz finden und frage mich, wie ich es jetzt für Felder beweise, die nicht überall definiert sind..

math.stackexchange.com/questions/638099/why-curl-free-field-implies-existence-of-potential-function

Ich hoffe, mir kann jemand helfen!

Vielen Dank,
lissy
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Konservati...ive_Kraftfelder

Punkt 4. Das Gebiet, in dem das Kraftfeld definiert ist und in dem die Rotation verschwindet, muss einfach zusammenhängend sein.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Genau, das ist klar. Nun ist ja zB ein Gebiet mit Loch in der Mitte auch zusammenhängend.
Ich habe diesen Satz jetzt mit Stokes bewiesen für den Fall, das das Gebiet zB ganz R^3 ist und das Vektorfeld wirklich überall definiert ist.

Jetzt ist eben die Frage, wie ich den Satz dann beweisen kann, den Stokes ist nicht anwendbar, wenn Definitionslücken vorliegen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Wenn man aus dem einen Punkt oder eine Kugel herausnimmt, z. B. weil das Kraftfeld dort nicht definiert ist, und dann eine geschlossene Kurve in dem verbleibenden Gebiet betrachtet, so kann man durch diese Kurve immer eine Fläche legen, die ebenfalls nicht durch den herausgenommenen Punkt/Kugel geht, also ebenfalls ganz in dem Restgebiet liegt. Und auf diese Kurve und diese Fläche kann man den Satz von Stokes anwenden.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Klingt einleuchtend, danke! Noch eine Frage: Ist es dann möglich, den Satz zuerst für den Fall, dass das Kraftfeld überall definiert ist, zu beweisen (wie im Link in meinem ersten Post) und dann grob gesagt das zu sagen, was du gesagt hast?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Wenn man innerhalb des betrachteten Gebiets durch jede geschlossene Kurve eine Fläche legen kann,die ebenfalls innerhalb des betrachteten Gebiets liegt, kann man den Satz von Stokes auf jede dieser geschlossenen Kurven anwenden. Es ist unnötig, eine Erweiterung des Gebiets zu betrachten.
 
 
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
In Ordnung. Muss aber nicht darauf geachtet werden, dass die Kurve nicht durch die Lücke geht?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Es soll doch die Existenz eines Potentials in dem Gebiet gezeigt werden, in dem das Vektorfeld definiert ist. Dazu braucht man nur geschlossene Kurven zu betrachten, die ganz innerhalb dieses Gebietes liegen. Und dann gehen diese Kurven nicht durch die Lücke, denn die gehört ja nicht zu dem betrachteten Gebiet.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
du hast recht, danke !
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Punkt 4. Das Gebiet, in dem das Kraftfeld definiert ist und in dem die Rotation verschwindet, muss einfach zusammenhängend sein.

Zitat:
Original von lissy1234567
Genau, das ist klar. Nun ist ja zB ein Gebiet mit Loch in der Mitte auch zusammenhängend.

Nur damit hier kein Missverständnis auftritt. Einfach zusammenhängend ist eine stärkere Aussage als zusammenhängend.

Insbesondere reicht ein Loch in einem zweidimensionalen Gebiet bereits um einfachen Zusammenhang zu zerstören, und es zusammenhängend bleibt. Je nachdem was du als Loch im dreidimensionalen ansiehst, könnte es da auch Probleme geben.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Also als Loch in 3D sehe ich zB einen Ball, allerdings muss von außen betrachtet das Gebiet ganz geschlossen sein, also der Rand vom Gebiet muss geschlossen sein genauer gesagt smile - das mit dem zusammenhängend und einfach zusammenhängend habe ich denke ich verstanden, danke !
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
So ganz einfach ist die Sache nicht. Üblicherweise verwendet man als Definition für ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dass sich jede vollständig in ihm liegende geschlossene Kurve durch eine stetige Deformation zu einem Punkt innerhalb des Gebiets zusammenziehen lässt, wobei alle Zwischenkurven ebenfalls ganz innerhalb des Gebiets liegen. Für übliche Anwendungsfälle in der Physik ist meist anschaulich klar, ob das geht oder nicht. Aber ein sauberer mathematischer Beweis benötigt schon in einfachen Fällen einiges an technische Hilfsmitteln.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Nun, die Antwort bzw. der angefangene Beweis im Link aus Post 1 kann man so ähnlich durchaus verwenden, wenn man davon ausgeht, dass das VF auf dem ganzen Gebiet definiert ist, richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Was ist Post 1 und der dortige Link?
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
math.stackexchange.com/questions/638099/why-curl-free-field-implies-existence-of-potential-function
beantwortet deine fragesmile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalares Potential, Beweis
Da finde ich eine Frage und eine Antwort, die aber weniger auf den Punkt eingeht, in welchen Fällen der Satz von Stokes anwendbar ist, wenn das Definitionsgebiet nicht der gesamte 3-dimensionale Raum ist.

Links gibt es mehrere, einer davon ist noch mal deine Frage, die ich versucht habe, so gut wie möglich zu beantworten.

Wenn du Zusatzfragen hast, bitte ich dich, die hier im Board so verständlich wie dir möglich zu stellen. Das

Zitat:
math.stackexchange.com/questions/638099/why-curl-free-field-implies-existence-of-potential-functionbeantwortet deine fragesmile

hat mir nicht geholfen zu verstehen, welche Fragen bei dir noch offen sind.
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