Folge mit unendlich vielen Häufungspunkten, explizit

28.11.2017, 14:31

Markus_Op

Folge mit unendlich vielen Häufungspunkten, explizit

Hallo zusammen Wink

Wir hatten die Aufgabe eine Folge mit unendlich vielen Häufungspunkten zu finden und eine Schreibweise ohne "Pünktchen, Pünktchen, Pünktchen" dafür zu finden.

Bei der Folge wurde ich fündig:
$\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} = (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...) \end{eqnarray*}$ .

Allerdings tue ich mir noch schwer die aufzuzählende Schreibweise dieser Folge los zu werden. Hätte jemand einen eleganten Vorschlag dafür?
Ich habe bereits versucht das ganze in Zeilen und Spalten anzuordnen:
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
usw.

Bisher will es mir aber nicht gelingen bei gegebener natürlicher Zahl n das zugehörige Folgenglied durch eine explizite Vorschrift anzugeben. Eventuell muss man irgendwie mit den "Zeilennummern" arbeiten?

Viele Grüße
Markus

28.11.2017, 14:49

sibelius84

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Hallo Markus_Op,

1. eine eventuell etwas andere Überlegung als deine:
Sei (q_n) eine Abzählung der rationalen Zahlen. Dann hat (q_n) jede reelle Zahl als Häufungspunkt. Eine absolut nicht triviale Aussage, die aber dennoch leicht beweisbar ist (durch Widerspruch).

2. Deine Überlegung ist recht schön! Was hier auf jeden Fall mit reinspielen könnte, ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen. Denn schau mal immer das letzte Feld an, bevor eine Eins kommt:
1
3
6
10
...
Logisch, es kommt ja immer einer mehr dazu.
Damit hättest du schon mal

$\begin{eqnarray*} a_{\frac 1 2 n(n+1)+1} = 1 \qquad \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , und

$\begin{eqnarray*} a_{\frac 1 2 n(n+1)} = n \qquad \forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Den ersten Punkt könntest du leicht so umformen, dass er nicht nur für die 1-Glieder, sondern auch für andere Folgenglieder zutrifft.

LG
sibelius84

28.11.2017, 15:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Markus_Op
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
usw.

Bisher will es mir aber nicht gelingen bei gegebener natürlicher Zahl n das zugehörige Folgenglied durch eine explizite Vorschrift anzugeben.

Ok, bei $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ startend kann die Folge durch

$\begin{align*} a_n = n+1-\frac{1}{2} \left\lfloor \frac{\sqrt{8n+1}-1}{2} \right\rfloor \cdot \left\lfloor \frac{\sqrt{8n+1}+1}{2} \right\rfloor \end{align*}$

beschrieben werden. Die deutlich einfachere explizite Darstellung $\begin{align*} b_n = n+1-\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor^2 \end{align*}$ gehört zur Folge

1
1 2 3
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 7
...

also jedes mal zwei Zahlen mehr - erfüllt ja auch den Zweck.

29.11.2017, 00:11

sibelius84

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Wow!

Ja, so kann man es machen:

Für Start bei 0 haben wir ja
$\begin{eqnarray*} a_{\frac 1 2 n(n+1) + j} =j+1,\; j=0,\ldots, n \end{eqnarray*}$ .

Substituieren wir den gesamten Folgenindex durch k, so wird j=k-(1/2)n(n+1), also

$\begin{eqnarray*} a_k = k+1-\frac 1 2 n(n+1) \qquad \qquad \pmb{(\ast)} \end{eqnarray*}$ ,

wobei n die größte natürliche Zahl ist, sodass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i = \frac 1 2 n(n+1) \leq k \end{eqnarray*}$ gilt.

Die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 n(n+1) \leq k \end{eqnarray*}$
formt man nun durch Multiplikation mit 2, Klammerauflösen und quadratische Ergänzung um zu
$\begin{eqnarray*} n \leq \sqrt{2k+\frac 1 4 }-\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ .

Also setzen wir
$\begin{eqnarray*} n:=\left\lfloor \sqrt{2k+\frac 1 4 }-\frac 1 2 \right\rfloor=\left\lfloor \frac 1 2 (\sqrt{8k+1 }-1) \right\rfloor \end{eqnarray*}$ ,

sodass

$\begin{eqnarray*} n+1=\left\lfloor \sqrt{2k+\frac 1 4 }+\frac 1 2 \right\rfloor=\left\lfloor \frac 1 2 (\sqrt{8k+1 }+1) \right\rfloor \end{eqnarray*}$ .

Setzen wir diese beiden Ausdrücke für n bzw. n+1 in $\begin{eqnarray*} \pmb{(\ast)} \end{eqnarray*}$ ein, so erhalten wir die Formel von HAL 9000. Beeindruckend! Respekt

29.11.2017, 09:30

HAL 9000

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Eigentlich wollte ich mit der Nennung der Formel nicht "beeindrucken", sondern nur die Kompliziertheit der Darstellung betonen, und dass deshalb doch das einfachere $\begin{align*} b_n = n+1-\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor^2 \end{align*}$ eine zwar andere, aber ebenso brauchbare Folge für den Zweck hier liefert. Augenzwinkern

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