Extremstellen bei Sinusfunktion berechnen

28.11.2017, 17:49

Yoqora

Extremstellen bei Sinusfunktion berechnen

Meine Frage:
Hey, ich wollte mal fragen wie man die Extremstellen folgender Funktion berechnet:

f(x)=10?sin(x2+1)
f? (x)=20?x?cos(x2+1)

Hab dazu im Internet nicht wirklich was gefunden und wenn ich normal rechne, bekomme
ich nur zwei Extremstellen (~9,43 und ~?9,43) aber die Funktion hat ja unendlich Extremstellen.
Wie kann ich die anderen errechnen?
Die zwei von mir errechneten Extremstellen stimmen, das habe ich auf einem Schaubild überprüft.
Könnt ihr mir helfen?

vielen Dank im Voraus,
Yoqora

Meine Ideen:
P.S.: hier mein Rechenweg:

Extremstellen berechnen:
f verwirrt

x)=0
20?x?cos(x2+1)=0?? geteilt durch zwanzig x
cos(x2+1)=0?? cosinus hoch minus eins
x2+1=cos(0)
x2=89
x=±9,43

28.11.2017, 18:23

G291117

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RE: Extremstellen bei Sinusfunktion berechnen?
Was soll das Fragezeichen bedeuten?

Der Satz vom Nullprodukt sollte dir weiterhelfen,soweit ich vermute.

28.11.2017, 19:09

HAL 9000

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RE: Extremstellen bei Sinusfunktion berechnen?
Ich nehme an, die Funktion lautet $\begin{align*} f(x)=10\cdot \sin(x^2+1) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Yoqora
Die zwei von mir errechneten Extremstellen stimmen, das habe ich auf einem Schaubild überprüft.

Nie und nimmer stimmt das.

Deine drei letzten Zeilen der Umformung sind Unsinn: Zum einen muss da mit Bogenmaß statt Gradmaß gerechnet werden. Zum anderen ist die Periodizität des Kosinus zu berücksichtigen - richtig wäre dann

$\begin{align*} x^2+1 &= \frac{\pi}{2} + k\pi<br /> x &= \pm \sqrt{\frac{\pi}{2}(2k+1)-1}\qquad \mbox{für}\;k\in\mathbb{N_0} \end{align*}$ ,

Außerdem hast du durch deine anfängliche Division durch $\begin{align*} 20x \end{align*}$ mal so eben die lokale Extremstelle $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ wegrasiert.

Eine genauere numerische Auswertung ergibt für k=28 den Wert $\begin{align*} x=9.409 \end{align*}$ , und für k=29 dann $\begin{align*} x=9.574 \end{align*}$ . Also nix mit $\begin{align*} x=9.43 \end{align*}$ , nur bei extrem schlechter Zeichnung (oder falscher Rechnung mit Gradmaß).

28.11.2017, 21:51

Yoqora

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Ja die Funktion war so gemeint, sorry hab das mit den Formeln eingeben nicht ganz geblickt und mit dem Standard-Schema von anderen Seiten gemacht Big Laugh

Okay dann stimmen die Extremstellen nicht, habe es auf einem selbstgezeichneten Schaubild überprüft und das schien zu stimmen..

Das Problem ist, dass wir bisher keine Kurvendiskussion mit Sinusfunktionen gemacht haben.. kannst du mir erklären, warum bei dir aus
$\begin{eqnarray*} cos(x^2+1)=0 \end{eqnarray*}$
plötzlich
$\begin{eqnarray*} x^2+1=pi/2+k*pi \end{eqnarray*}$
wird?

Aber Danke schon mal für die Antwort!
Yoqora

28.11.2017, 23:17

mYthos

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Die Null auf der rechten Seite wird durch eine entsprechende Cosinusfunktion ersetzt, damit sind dann beide Argumente vergleichbar:

$\begin{eqnarray*} \cos(x^2+1) = \cos (\frac {\pi} 2 + k \pi); \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+1 = \frac {\pi} 2 + k \pi; \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+1 = \frac {\pi} 2 (1 + 2k); \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

k ist eine ganze Zahl und damit werden angesichts der Periodizität der Cos-Funktion Vielfache der Periodenlänge gezählt.
Die Cos-Funktion ist zwar $\begin{eqnarray*} 2 \pi \text{- periodisch} \end{eqnarray*}$ , die Nullstellen jedoch treten in Abständen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auf.

mY+

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