Beweis mit Homomorphismus und Untervektorraum

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Olaf777 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Homomorphismus und Untervektorraum
Hi, ich soll folgendes beweisen:

Sei f ein Homomorphismus(V->W) und der Untervektorraum U eine Teilmenge von W.
Zu zeigen f^(-1)(U):={v aus V | f(v) aus U} ist ein Untervektorraum.

Meine Idee war, das ganze mit dem Unterraumkriterium zu beweisen:
1. f^(-1) ist nicht leer, weil f(0)=0 Element von f^(-1)(U) ist.
2.
Für das Unterraumkriterium ist ja zu zeigen, dass vx+w Element von f^(-1)(U).
Da ist ja äquivalent zu f(vx+w) Element von U. Wobei v und w Vektoren sind und x aus dem Körper.
Weil jetzt f ein Homomorphismus ist, gilt f(vx+w)=f(v)x+f(w) und da U ein Unterraum ist: gilt f(v)x+f(w) Element von U.
Also ist vx+w Element von f^(-1)(U) und f^(-1)(U) ein Untervektorraum.

Wo liegen meine Denkfehler? Hammer
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.: Wahrscheinlich richtig gedacht, aber die Argumentation muss korrekterweise lauten, dass 0_V in f^{-1}(U) ist, weil f(0_V) = 0_W in U.

Zu 2.: Vermutlich auch richtig gedacht, ich würde es aber anders strukturiert aufschreiben.

Hier würde ich anfangen mit: Seien v,w in f^{-1}(U) und x in K, d.h. f(v), f(w) in U.

Das von mir kursiv geschriebene ist bei dir nicht explizit ausgeschrieben, geht aber entscheidend in den Beweis ein.
 
 
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