Beweis der Ableitung der Funktion a^x

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magicyogi Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Ableitung der Funktion a^x
Meine Frage:

Ich suche nach einem Beweis, daß die Ableitung der Exponentialfunktion





ist.

Ich verstehe alles mittels Differential-Quotienten bis hin zu



wobei dann aber z.B. weiter nur steht :
Der limes sei eben eine Konstante.
Für a=e sei er 1 , allgemein sei er = ln(a).
Irgendwo fand ich auch : Das sei definitiv Uni-Stoff.

In einem älteren Tread schreib jemand für die e-Funktion ( a = e ).



Man "sehe doch", daß der Grenzwert = 1 sei (was bei a=e ja richtig ist),

( dies war seine "Erklärung" : ..... no comment )

sehen kann man es jedenfalls nicht, weil der Grenzwert danach ja auch für



genauso gleich 1 sein müsste, was ja aber nicht stimmt, weil es ln(a) ist.


Also meine Frage :

Wie kann man beweisen, daß



ist ? (auch wenn's Uni-Stoff sein sollte...)

Meine Ideen:
Ich habe mal ein Excel-Blatt erstellt, in dem ich das einfach mal für einige Werte von a mit h=1 .... h=0,00000001 ausrechne und erkenne, daß da wirklich der ln(a) rauskommt ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard!

Wenn schon bekannt ist (kann man z.B. über die Reihendarstellung der Exponentialfunktion begründen), dann kannst du im allgemeinen Fall den Grenzwert folgendermaßen berechnen:

.

Eine andere Möglichkeit wäre, zu schreiben und dann zum Ableiten die Kettenregel zu benutzen.
magicyogi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo 10001000Nick1,
danke für die schnelle Antwort.



verstehe ich ! Freude



über die Reihendarstellung zu beweisen ... da hapert's noch .

Kannst Du mir da eine Quelle nennen ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da braucht's keine Quelle, lediglich die Reihe für musst du kennen, hier mit h

EDIT: Schreibfehler berichtigt!

Jetzt ziehe davon 1 ab, dividiere durch h und bilde den Grenzwert.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau wie bei kann man hier bei leicht zu einer Henne-Ei-Diskussion kommen:

Was war zuerst da, dieser Grenzwert oder die Ableitung von ?

Hängt dann letztlich von der Definition dieser Funktionen ab. Wird über die Potenzreihe definiert, dann klappt der Weg von mYthos. Wird es anders definiert, etwa über , dann muss man sich die Reihendarstellung erstmal erarbeiten, usw.

Was will ich damit sagen: Je nach Ausgangslage (Definition bzw. bereits bekannte Eigenschaften der Exponentialfunktion) variiert der Umfang dessen, was hier im Beweis zu leisten ist.
magicyogi Auf diesen Beitrag antworten »



Sollte sicher



heissen Big Laugh ....

ja, dann komme ich in der Tat auf :



Wobei der dann für h->0 eindeutig 1 ist.

Vielen Dank .
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, leider ein Schreibfehler.
Ich werde es editieren, so long!

mY+
magicyogi Auf diesen Beitrag antworten »

Hihi, sollte sicher ein Test sein ....

aber warum kann ich meine Antwort nicht mehr editieren ???

Jedenfalls vielen Dank an Euch beide ! Hat mir sehr weitergeholfen !!!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von magicyogi
aber warum kann ich meine Antwort nicht mehr editieren ???

Solange du unter 100 Beiträge verfasst hast, hast du nur 15 Minuten Zeit zum Editieren; ab 100 Beiträgen dann 30 Tage. smile
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