Beweis der Ableitung der Funktion a^x |
28.11.2017, 22:41 | magicyogi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis der Ableitung der Funktion a^x Ich suche nach einem Beweis, daß die Ableitung der Exponentialfunktion ist. Ich verstehe alles mittels Differential-Quotienten bis hin zu wobei dann aber z.B. weiter nur steht : Der limes sei eben eine Konstante. Für a=e sei er 1 , allgemein sei er = ln(a). Irgendwo fand ich auch : Das sei definitiv Uni-Stoff. In einem älteren Tread schreib jemand für die e-Funktion ( a = e ). Man "sehe doch", daß der Grenzwert = 1 sei (was bei a=e ja richtig ist), ( dies war seine "Erklärung" : ..... no comment ) sehen kann man es jedenfalls nicht, weil der Grenzwert danach ja auch für genauso gleich 1 sein müsste, was ja aber nicht stimmt, weil es ln(a) ist. Also meine Frage : Wie kann man beweisen, daß ist ? (auch wenn's Uni-Stoff sein sollte...) Meine Ideen: Ich habe mal ein Excel-Blatt erstellt, in dem ich das einfach mal für einige Werte von a mit h=1 .... h=0,00000001 ausrechne und erkenne, daß da wirklich der ln(a) rauskommt ? |
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28.11.2017, 23:01 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
im Matheboard! Wenn schon bekannt ist (kann man z.B. über die Reihendarstellung der Exponentialfunktion begründen), dann kannst du im allgemeinen Fall den Grenzwert folgendermaßen berechnen: . Eine andere Möglichkeit wäre, zu schreiben und dann zum Ableiten die Kettenregel zu benutzen. |
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29.11.2017, 12:06 | magicyogi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo 10001000Nick1, danke für die schnelle Antwort. verstehe ich ! über die Reihendarstellung zu beweisen ... da hapert's noch . Kannst Du mir da eine Quelle nennen ? |
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29.11.2017, 12:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da braucht's keine Quelle, lediglich die Reihe für musst du kennen, hier mit h EDIT: Schreibfehler berichtigt! Jetzt ziehe davon 1 ab, dividiere durch h und bilde den Grenzwert. mY+ |
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29.11.2017, 13:40 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau wie bei kann man hier bei leicht zu einer Henne-Ei-Diskussion kommen: Was war zuerst da, dieser Grenzwert oder die Ableitung von ? Hängt dann letztlich von der Definition dieser Funktionen ab. Wird über die Potenzreihe definiert, dann klappt der Weg von mYthos. Wird es anders definiert, etwa über , dann muss man sich die Reihendarstellung erstmal erarbeiten, usw. Was will ich damit sagen: Je nach Ausgangslage (Definition bzw. bereits bekannte Eigenschaften der Exponentialfunktion) variiert der Umfang dessen, was hier im Beweis zu leisten ist. |
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29.11.2017, 14:31 | magicyogi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sollte sicher heissen .... ja, dann komme ich in der Tat auf : Wobei der dann für h->0 eindeutig 1 ist. Vielen Dank . |
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29.11.2017, 14:46 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, leider ein Schreibfehler. Ich werde es editieren, so long! mY+ |
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29.11.2017, 15:50 | magicyogi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hihi, sollte sicher ein Test sein .... aber warum kann ich meine Antwort nicht mehr editieren ??? Jedenfalls vielen Dank an Euch beide ! Hat mir sehr weitergeholfen !!! |
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29.11.2017, 20:08 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Solange du unter 100 Beiträge verfasst hast, hast du nur 15 Minuten Zeit zum Editieren; ab 100 Beiträgen dann 30 Tage. |
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