Additionstheoreme

28.11.2017, 23:35	shkkev	Auf diesen Beitrag antworten »
Additionstheoreme Hallo, ich möchte Hilfe mit einer Aufgabe. Wie soll ich mit der Aufgabe anfangen? Da die Aufgabe eher schwer mit Latex einzugeben, hier ist ein Foto: [attach]45840[/attach] Z.B. für $\begin{eqnarray} T_n(x) \end{eqnarray}$ soll ich cos(x) für x einsetzen? Die Summe ist auch verwirrend...ist $\begin{eqnarray} [\frac{n}{2}] \end{eqnarray}$ die Größte-Ganze-Funktion? Auch die Menge R, wo beide Folgen $\begin{eqnarray} T_n(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_n(x) \end{eqnarray}$ Teilmengen sind...diese Aufgabe ist echt schwer nachzuvollziehen... Ich danke Euch. Edit (Nick): Fotos bitte immer direkt anhängen, keine Links zu anderen Seiten. Habe das hier mal gemacht.
29.11.2017, 00:27	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo shkkev, ja, das ist die Größte-Ganze-Funktion! Es ist nicht wirklich elegant und verständnisbasiert, aber das einzige, was mir jetzt (für die T_n erstmal) einfallen würde, wäre nacheinander zu zeigen: T_0 = 1 T_1 = x T_(n+1)=2xT_n - T_(n-1) für alle n >= 1 und dann eben genau die selben drei Punkte für cos(nt), wobei x durch cos(t) zu ersetzen ist. Dann folgt die erste Behauptung induktiv. Für den zweiten Fall könnte man etwas Ähnliches versuchen, aber bevor ich mir die Finger wund tippe, warte ich erst mal ab, ob du dich damit anfreunden kannst LG sibelius84 edit: oder du versuchst $\begin{eqnarray} \cos(nx)+i\sin(nx)=e^{inx} = (e^{ix})^n = (\cos(x)+i\sin(x))^n \end{eqnarray}$ , rechnest dann die rechte Seite mit dem binomischen Lehrsatz aus und vergleichst Real- und Imaginärteile. Beachte sin^2+cos^2=1.
29.11.2017, 10:24	shkkev	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich danke Dir für die Erklärung und Hilfe. Ich habe den ersten Teil gemacht aber wie kann ich zeigen, dass die Summe bis dieser Größte-Ganze-Funktion geht?
29.11.2017, 10:39	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du es mit der ersten Methode machst - also Rekursion und Induktion -, dann musst du dich darum gar nicht explizit kümmern. Es ist in der Rekursion dann quasi schon mit drin. Wenn man genauer überlegen und erklären will: Wenn ich T_0=1 und T_1=x habe, dann bekomme ich ja T_2=2x·x-1=2x^2-1. Hier ist also ein Summand dazugekommen. Als nächstes bekomme ich aber T_3=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x. Jetzt besteht T_(n-1) nur aus Potenzen, die auch in 2xT_n schon vorkamen - da kommt also nichts Neues dazu. Gezielt wird gemäß Aufgabenstellung bei euch glaube ich eher auf die zweite Lösung, die ich im "edit" noch angefügt hatte. Ansonsten geht man streng genommen auch an der Aufgabenstellung vorbei, weil man nicht exp(iz)=cos(z)+isin(z) verwendet hat. Da muss man dann schon zeigen, dass das bis zur Größte-Ganze-Funktion von n/2 geht. Am besten durch Fallunterscheidung: n=2m gerade, n=2m-1 ungerade.
29.11.2017, 11:13	shkkev	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Re((\cos(x)+i\sin(x))^n) = cos^n(x) \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} (-1)\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}cos^{n-2}(x)sin^2(x) + \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix}cos^{n-4}(x)sin^4(x) +... + sin^n(x) \end{eqnarray}$ . Die letzte Variable ist falls n gerade ist. Kann ich jetzt kurz sagen, dass k ist jetzt 2k, weil nur die geraden Zahlen betrachtet sind und da diese Folge nur die Hälfte von der anderen ist, muss es nur die Hälfte der Werte geben und somit kann man die Größte-Ganze-Funktion benutzen?
29.11.2017, 11:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde Real- und Imaginärteil gleich in einem Aufwasch machen: $\begin{align} \cos(nx) + i\sin(nx) = (\cos(x)+i\sin(x))^n = \sum_{m=0}^n i^m \binom{n}{m} \cos^{n-m}(x) \sin^m(x) \end{align}$ . Jetzt teilt man die binomische Summe auf in gerade Indizes $\begin{align} m=2k \end{align}$ sowie ungerade Indizes $\begin{align} m=2k+1 \end{align}$ . Ersteres mit Forderung $\begin{align} m=2k\leq n \end{align}$ bedeutet $\begin{align} k\leq \frac{n}{2} \end{align}$ bzw. wegen der Ganzzahligkeit $\begin{align} k\leq \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor \end{align}$ . Letzteres mit Forderung $\begin{align} m=2k+1\leq n \end{align}$ entspricht $\begin{align} k\leq \frac{n-1}{2} \end{align}$ bzw. wegen der Ganzzahligkeit $\begin{align} k\leq \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \end{align}$ . Das führt insgesamt zu $\begin{align} \cos(nx) + i\sin(nx) &= \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} i^{2k} \binom{n}{2k} \cos^{n-2k}(x) \sin^{2k}(x) + \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} i^{2k+1} \binom{n}{2k+1} \cos^{n-2k-1}(x) \sin^{2k+1}(x)<br /> &= \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} \cos^{n-2k}(x) (1-\cos^2(x))^k ~+~ i\sin(x) \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} \cos^{n-1-2k}(x) (1-\cos^2(x))^k \end{align}$
Anzeige

29.11.2017, 11:43	shkkev	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, danke für die Erklärung. Das ist ein guter Weg. In der Aufgabenstellung ist der zweite Teil auch bis $\begin{eqnarray} [\frac{n}{2}] \end{eqnarray}$ denkst du, dass das ein Tippfehler ist und sollte n-1 statt n?
29.11.2017, 11:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da ist kein Tippfehler, schau mal genau hin: Da ist nicht von $\begin{align} U_n \end{align}$ , sondern von $\begin{align} U_{n-1} \end{align}$ die Rede... hat alles seinen Sinn.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »