Teilmengen als Untervektorraum des R^3
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29.11.2017, 11:52 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Meine Frage:
Hallo zusammen,

Habe mit folgender Aufgabe ein paar Probleme. Man soll hier bestimmen ob es sich bei den nachstehenden Teilmengen des R^3 um Untervektorräume handelt.

(a) {(x,y,z)^T E R^3 : |x-y+z|=0}
(b) {(x,x*y,x-y)^T E R^3 : (x,y)^T E R^2}
(c) {(x,y,z)^T E R^3 : x^2-y^2=0}
(d) {(3,4,5)^T+a*(1,0,2) : a E R}

Meine Ideen:
Bei Aufgabe (a) und (c) bin ich mir ziemlich sicher, dass es sich um Untervektorräume handelt. Wie ist es aber bei (b) und (d) und liege ich mit meinem Ergebnis bei (a) und (c) richtig?
29.11.2017, 11:57 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Zitat:
Original von paullange26
Bei Aufgabe (a) und (c) bin ich mir ziemlich sicher, dass es sich um Untervektorräume handelt.

Dann solltest du dies auch beweisen. smile
29.11.2017, 12:44 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Aufgabe (a) sollte richtig sein, da alle Ebenen die durch den Ursprung gehen Untervektorräume des R^3 sind. Und wenn ich die drei Regeln anwende (Keine leere Menge, Abgeschlossen in Vektoraddition und in Skalarmultiplikation) dann stimmt die Gleichung für alle Fälle.

Aufgabe (c) eigentlich das gleiche, ich suche mir einen Vektor aus U und probiere die Regeln aus, sie stimmen dabei immer.

Aber wie wende ich die Regeln bei (b) und (d) an, da stehen ja keine Gleichungen. Und sind meine Rechnungen bei (a) und (c) richtig?
29.11.2017, 13:26 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Zitat:
Original von paullange26
Aufgabe (a) sollte richtig sein, da alle Ebenen die durch den Ursprung gehen Untervektorräume des R^3 sind. Und wenn ich die drei Regeln anwende (Keine leere Menge, Abgeschlossen in Vektoraddition und in Skalarmultiplikation) dann stimmt die Gleichung für alle Fälle.

Das solltest du natürlich auch formal aufschreiben.

Zitat:
Original von paullange26
Aufgabe (c) eigentlich das gleiche, ich suche mir einen Vektor aus U und probiere die Regeln aus, sie stimmen dabei immer.

Ah ja. Und wie ist es mit den Vektoren (1, 1, 0) und (1, -1, 0) ? Ist deren Summe auch in U?

Zitat:
Original von paullange26
Aber wie wende ich die Regeln bei (b) und (d) an, da stehen ja keine Gleichungen. Und sind meine Rechnungen bei (a) und (c) richtig?

Nun ja, implizit schon:
29.11.2017, 14:45 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Okay danke, bei der (c) hast du mir sehr geholfen, an negatvie Zahlen hatte ich da gar nicht gedacht. Die sollte ja also dann falsch sein.

Aufgabe (d) sollte ja eigentlich nichts anderes als eine Gerade sein oder? Und ich muss dann einfach sagen ob diese ein Untervektorraum von R^3 ist oder nicht.

Aber die Aufgabe (b) verstehe ich immer noch nicht. Warum wird denn der R^3 da so komisch geschrieben (als Kombination aus x und y) und eigentlich muss ich doch da behaupten ob der R^2 Raum im R^3 Raum liegt, oder?
29.11.2017, 14:54 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Und bei der (d) habe ich mal ausprobiert und bin zu dem Entschluss gekommen, dass diese kein Untervektor ist denn wenn man zwei Vektoren der Gerade addiert (3,4,5)^T und (4,4,7)^T kommt man auf einen y-Wert von 8 und damit würde der Vektor nicht mehr auf der Geraden liegen, da 4+r*0 immer 4 ist.
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29.11.2017, 15:05 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Zitat:
Original von paullange26
Warum wird denn der R^3 da so komisch geschrieben (als Kombination aus x und y) und eigentlich muss ich doch da behaupten ob der R^2 Raum im R^3 Raum liegt, oder?

Mir scheint, du hast noch nicht verstanden, wie die Menge U gebildet wird: zu jedem Vektor des R² findest du einen Vektor im R³, dessen Komponenten durch die angegebenen Gleichungen gebildet wird. Beispielsweise erhältst du für x=y=0 den Vektor (0, 0, 0), für x=y=1 den Vektor (1, 1, 0). Und jetzt ist nur die Frage, ob die Menge U ein Unterraum des R³ ist.

Zitat:
Original von paullange26
Und bei der (d) habe ich mal ausprobiert und bin zu dem Entschluss gekommen, dass diese kein Untervektor ist denn wenn man zwei Vektoren der Gerade addiert (3,4,5)^T und (4,4,7)^T kommt man auf einen y-Wert von 8 und damit würde der Vektor nicht mehr auf der Geraden liegen, da 4+r*0 immer 4 ist.

Das geht noch einfacher: prüfe, ob der Nullvektor zur Menge U gehört. Augenzwinkern
29.11.2017, 15:30 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Okay das bei (b) habe ich verstanden, aber wie kann ich dann sagen ob der Vektor ein Unterraum ist?
(1,1,0) wäre ja in dem Falle ein passender Vektor. Und wie prüfe ich jetzt ob der ein Unterraum ist? Mir fehlt ja eine Gleichung mit der ich arbeiten kann.
29.11.2017, 15:40 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Zitat:
Original von paullange26
aber wie kann ich dann sagen ob der Vektor ein Unterraum ist?

Nicht ein Vektor ist ein Unterraum, sondern eine Menge von Vektoren bilden (vielleicht) einen Unterraum. Wie in Aufgabe b die Menge U gebildet wird, habe ich exemplarisch für 2 Vektoren (= Elemente von U) gezeigt. Es ist leicht einzusehen, daß zu dieser Menge noch viele andere Vektoren gehören. Ich würde mal verdachtsweise vermuten, daß die Menge U in Aufgabe b kein Unterraum ist. Dazu müßtest du beispielsweise einen Vektor finden, wo zum Beispiel das Doppelte des Vektors nicht zu U gehört. Suche dir einen der beiden von mir genannten Vektoren aus. Augenzwinkern
29.11.2017, 15:50 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
D.h. ich nehme beispielsweise (1,1,0) und multipliziere diesen mit dem Skalar 2. Das setze ich dann in (x,x*y,x-y) ein und sehe, dass ich (2,4,-2) erhalte. Und das beweist dann dass U kein Untervektorraum von V ist?
29.11.2017, 15:56 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Du hast leider immer noch nicht verstanden, wie die Menge U gebildet wird, obwohl ich mir hier die Finger wund schreibe. unglücklich

Du mußt jetzt schauen, ob 2*(1,1,0) eine Element von U ist. Das ist dann der Fall, wenn es ein Paar (x,y) gibt, so daß (x,x*y,x-y) = 2 * (1,1,0) ist.
29.11.2017, 16:03 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Okay jetzt hab ich‘s haha 😄 Danke dir für deine Geduld und Hilfsbereitschaft, du hast mir wirklich sehr geholfen! Und vor allem immer schnell geantwortet! Vielen Dank!
29.11.2017, 16:05 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Gerne. Und was ist jetzt dein Ergebnis?
29.11.2017, 16:13 paullange26 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Du hast ja bereits einen Fall vorgegeben den man beispielsweise benutzen kann. Wenn es ein Bündel (x,y) geben muss für das (x,x*y,x-y)=2*(1,1,0) , so müsste x ja schonmal den Wert 2. Y bräuchte dann den Wert 1 sodass 2*y=2 ergibt. Rechnet man dann x-y also 2-1 so sieht man, dass z ja hier den Wert 1 hat. Dieser ist aber ungleich 0 somit wäre (x,y) hier kein Untervektorraum.
30.11.2017, 09:06 klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmengen als Untervektorraum des R^3
Zitat:
Original von paullange26
somit wäre (x,y) hier kein Untervektorraum.

Nein, nein, nein. unglücklich Die Menge U ist hier kein Unterraum. Lehrer
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