Konvergenz von Reihen

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29.11.2017, 20:33	Phythagoras546	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen Hallo, ich habe folgende Reihe auf Konvergenz zu untersuchen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=m}^{\infty } \binom{n}{m}^{-1} \end{eqnarray}$ Welches Kriterium verwende ich dabei am besten?
29.11.2017, 20:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen Für $\begin{align} m=1 \end{align}$ : Harmonische Reihe, offensichtlich divergent. Für $\begin{align} m\geq 2 \end{align}$ : Teleskopreihe! EDIT: Ach ja, für $\begin{align} m=0 \end{align}$ hat man natürlich auch Divergenz.
29.11.2017, 20:50	Phythagoras546	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen Danke. Also m=1 sehe ich auch, aber wie siehst du im anderen Fall die Teleskopreihe?
29.11.2017, 20:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit "magischem Blick" (tatsächlich aber eher durch Betrachtung der Fälle m=2 und m=3 und dann passender Verallgemeinerung) sieht man für alle $\begin{align} n\geq m\geq 2 \end{align}$ : $\begin{align} \binom{n}{m}^{-1} = \frac{m}{m-1}\left( \binom{n-1}{m-1}^{-1} - \binom{n}{m-1}^{-1} \right) \end{align}$ . Einmal gefunden kann man es natürlich auch nachweisen. Das schöne an einer Teleskopreihe ist, dass man dann sogar den Reihenwert berechnen kann, hier ist das dann einfach $\begin{align} \sum_{n=m}^{\infty} \binom{n}{m}^{-1} = \frac{m}{m-1} \end{align}$ .
29.11.2017, 21:11	Phythagoras546	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist für mich noch magisch: Wenn ich m=2 und m=3 betrachte und addiere erhalte ich folgendes: $\begin{eqnarray} \binom{n}{2}^{-1} + \binom{n}{3}^{-1} = (\frac{n!}{(n-2)! 2!}) ^{-1} + (\frac{n!}{(n-3)! 3!}) ^{-1} = \frac{n-2)! 2!}{n! } + \frac{n-3)! 3!}{n! } \end{eqnarray}$ Hilft mir das so überhaupt doder muss ich andere Rechenregeln verwenden?
29.11.2017, 21:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hat $\begin{eqnarray} \binom{n}{2}^{-1} + \binom{n}{3}^{-1} \end{eqnarray}$ mit der Summe bzw. überhaupt mit dem Problem hier zu tun?
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29.11.2017, 21:14	Phythagoras546	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht doch darum anhand der Fälle m=2 und m=3 eine allgemeine Darstellung der Reihe als Teleskopreihe zu finden?
29.11.2017, 21:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu addieren wir doch aber nicht querbeet Summanden aus der Reihe zu m=2 mit Summanden aus der Reihe zu m=3 - wie kommst du denn auf die Schnapsidee. Ich hab die Formel oben genannt, und die kann man beweisen. Auch einen Tipp habe ich gegeben, wie ich drauf gekommen bin - ich werde aber jetzt den Teufel tun, mit dir den genauen Erkenntnisprozess ewig lang durchzukauen.
29.11.2017, 21:21	Phythagoras546	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann verstehe ich was falsch. Für m=2 habe ich doch diese Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^{\infty } \binom{n}{2}^{-1} \end{eqnarray}$
29.11.2017, 21:24	Phythagoras546	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke Dann muss ich noch überlegen.
29.11.2017, 21:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das letzte, wozu ich in Hinblick auf "Formel finden" bereit bin, ist das Nennen folgender Differenzen: $\begin{align} \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = \frac{n-(n-1)}{n(n-1)} = \frac{1}{n(n-1)} \end{align}$ $\begin{align} \frac{1}{(n-1)(n-2)} - \frac{1}{n(n-1)} = \frac{n-(n-2)}{n(n-1)(n-2)} = \frac{2}{n(n-1)(n-2)} \end{align}$ $\begin{align} \frac{1}{(n-1)(n-2)(n-3)} - \frac{1}{n(n-1)(n-2)} = \frac{n-(n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} = \frac{3}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \end{align}$ $\begin{align} \ldots \end{align}$ Und jetzt denk einfach mal drüber nach, was das mit dem Problem hier zu tun haben könnte.

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