Polynomring K[X,Y] Nicht assoziiert aber Gleiches Hauptideal |
30.11.2017, 16:51 | n+1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Polynomring K[X,Y] Nicht assoziiert aber Gleiches Hauptideal Ich stehe grade vor Folgender Aufgabe: Sei K ein Körper und K[X,Y] der Polynomring zweier Variablen. Zeigen sie, dass in dem Ring R:=K[X,Y]/(XY²) die Elemente und nicht Assoziiert zueinander sind, aber dennoch das gleiche Hauptideal Besitzen. Komme hier aber leider auf Keinen Ansatz |
||
30.11.2017, 17:42 | n+1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe mir jetz sagen lassen, dass ich alle zu Bestimmen hab Komme hier auch nur auf müsste aber auf kommen... und was mir das weiterhilft weiß ich jetzt auch nicht |
||
01.12.2017, 10:45 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo n+1, zwei Elemente a, b eines Ringes R heißen ja bekanntlich assoziiert zueinander, wenn die Gleichung ea=b mit einem invertierbaren Element e besteht. (Mit 'invertierbar' meine ich hier immer 'multiplikativ invertierbar'.) Beispiele: 7 und -7 sind in den ganzen Zahlen assoziiert zueinander, weil (-1)·7 =-7. (...und weil -1 ein invertierbares Element der ganzen Zahlen ist, wegen (-1)·(-1) = 1, ist hier also zu sich selbst invers). ist im Polynomring assoziiert zu , weil (...und weil 6 ein invertierbares Element im Polynomring |R[X] ist, wegen 6·(1/6) = 1). Das heißt für deine Aufgabe: Du musst den Ansatz aufstellen und schauen, ob du e als invertierbares Element deines Ringes wählen kannst. Da die Aufgabe ja verlangt zu zeigen, dass das nicht geht, solltest du versuchen, daraus einen Widerspruch zu folgern. Dann zu den Hauptidealen: Du meinst wahrscheinlich, dass zu zeigen ist, dass und das selbe Hauptideal erzeugen. Also sprich: dass die erzeugten Hauptideale gleich sind. Hauptideale sind ja insbesondere Mengen. Weißt du, mit welchen zwei Schritten man die Gleichheit zweier Mengen zeigt? Wenn ja: Bei welcher Richtung hast du Probleme? (Denn eine von den zwei Richtungen ist trivial.) LG sibelius84 |
||
01.12.2017, 12:55 | n+1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zum Assoziierten teil hab ich immer noch keinen Plan, ich verstehe zwar, was gemeint ist aber ich hab keine Ahnung wie ich das Zeigen soll... Zur Mengen Gleichheit: Wäre das nicht hier der fall, wenn das Ideal = 0 wäre? |
||
01.12.2017, 17:36 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann wäre es der Fall. Ist es aber ja nicht, da erst XY^2 kongruent 0 in dem modulo-Ring ist. Zum assoziierten Teil: Erstmal grundsätzlich - wenn I ein Ideal des Ringes R ist und wir den Faktorring R/I betrachten, dann gilt ja . So "übersetzt" man sich also modulo-Gleichungen anhand der Definition in Gleichungen, die über dem Ring gelten, zurück. Nun angenommen, . Nach Ausklammern von X-quer und Umformen ergibt dies mit der Anwendung obiger Definition . Wenn du beachtest, dass X ein Primelement in K[X,Y] ist und was dort die Einheiten sind - schaffst du es evtl., das zum Widerspruch zu führen? Zur Gleichheit der erzeugten Ideale: Ist dir schon klar, welche Richtung hier die triviale ist? |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|