Intervallschachtelung [Folgen]

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Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »
Intervallschachtelung [Folgen]
Hallo,

es seien Intervalle mit , d.h. und für alle

Zu zeigen ist:

1) Es sei . Dann gilt:

2)

Sind hier a und b das Supremum und Infimum? Der Schnitt bei einer Intervallschachtelung sollte ja dem Grenzwert entsprechen, demnach müsste a = b sein. Da ja beide Intervalle Teilmengen voneinander sind, müssten sie zudem gleich sein. Mir fällt jedoch nicht ein, wie man das zeigen kann.

Gruß
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist leider alles undefiniert, also kann man auch nichts zeigen.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll undefiniert sein? Dass a das Supremum und b das Infimum ist vermute ich aufgrund einer anderen Teilaufgabe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutest du auch, dass jemand außer dir diese Teilaufgabe kennt ?
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe sie als irrelevant betrachtet. Wenn nun a und b Supremum bzw. Infimum sind, wie lässt sich dann zeigen, dass eine Teilmenge des Schnitts von ist?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das lässt sich nicht zeigen, weil Infimum und Supremum nicht immer existieren. Oder doch ? Wenn ja, warum ?

Oder ist das alles trivial ? Was verstehst du unter ?
 
 
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt: und . Dann sollte es ja klappen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis bezog sich auf , was wohl sicher heissen sollte. Und offenbar ist für jedes . Insbesondere dann auch im Schnitt enthalten.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, habe ich soeben korrigiert. Wenn Teilmenge des Schnitts von ist, wieso gilt dann auch der Fall, dass der Schnitt von eine Teilmenge von ist und demnach beide Mengen gleich sind? Müsste der Schnitt nicht nur einen einzigen Punkt enthalten und nicht ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die andere Aussage kann man separat zeigen. Angenommen es gibt ein mit . Dann ist oder . Dann kann man zeigen, dass ein existiert, so dass und damit . Widerspruch. (Wo ich das Aufschreibe ist ein Widerspruchbeweis unnötig, aber ich fands anschaulicher).

Und wenn , so beinhaltet nur einen Punkt. Wenn , dann eben das ganze Intervall . Bei der Intervallschachtelung ist eben , hier offenbar nicht zwingend.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gehört zur Intervallschachtelung nicht auch dazu, dass vorausgesetzt werden ? Auch fehlt vermutlich die Voraussetzung , sonst wird es schwer zu erhalten. Wie soll der Beweis ohne die Voraussetzungen möglich sein ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Intervallschachtelung [Folgen]
Technisch gesehen hast du natürlich Recht, Elvis. Aber bei Intervallen kann man wohl in der Regel von reellen Intervallen auszugehen.

Und benötigt man nicht. Falls für ein , so ist , genauso wie , wenn und (wobei man es uneigentlich auffasst, wenn die Folgen unbeschränkt sind).
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis. Scheinbar gilt hier tatsächlich nicht bloß

Die Voraussetzungen sind nicht angegeben. Wenn und gilt, müsste ja die Ungleichung gelten, weil die kleinste obere Schranke für jedes ist, oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragewurm
[...] weil die kleinste obere Schranke für jedes ist, oder?


Das würde es, aber wenigstens hast du nichts geschrieben was die obige Aussage rechtfertigen würde.

Edit: Und b ist sicher nicht die kleinste obere Schranke für jedes . Es ist bestenfalls EINE obere Schranke für die Folge der .
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist nicht die kleinste obere Schranke, wenn es das Infimum ist?

Mir ist noch nicht ganz klar, wie man zeigt, dass gilt, wenn und . Jedes ist ja eine obere Schranke für alle . Wie zeigt man diese Ungleichung, wenn das Supremum und das Infimum ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragewurm
Wieso ist nicht die kleinste obere Schranke, wenn es das Infimum ist?

Es ist das Infimum der . Und die haben aktuell nichts mit den zu tun.
Zitat:

Mir ist noch nicht ganz klar, wie man zeigt, dass gilt, wenn und .

Ohne weitere Voraussetzungen gar nicht.
Zitat:
Jedes ist ja eine obere Schranke für alle . Wie zeigt man diese Ungleichung, wenn das Supremum und das Infimum ist?

Das steht absolut nirgendwo in der Aufgabe, das behauptest du bloss immer fleissig. Aber weil ich gefühlt damit gegen eine Wand rede: Angenommen es gilt für alle und ist monoton wachsend und monoton fallend. Dann ist . Da beide konvergieren, gilt also . Was man leicht über Widerspruch sieht.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, habe es zunächst falsch verstanden.

Zitat:
Original von IfindU
Die andere Aussage kann man separat zeigen. Angenommen es gibt ein mit . Dann ist oder . Dann kann man zeigen, dass ein existiert, so dass und damit . Widerspruch. (Wo ich das Aufschreibe ist ein Widerspruchbeweis unnötig, aber ich fands anschaulicher).

Und wenn , so beinhaltet nur einen Punkt. Wenn , dann eben das ganze Intervall . Bei der Intervallschachtelung ist eben , hier offenbar nicht zwingend.


Du zeigst ja hiermit, dass eine Teilmenge des Schnitts von ist. Müsste diese Vorgehensweise nicht für den Fall, dass der Schnitt von eine eine Teilmenge von ist gelten?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragewurm
Müsste diese Vorgehensweise nicht für den Fall, dass der Schnitt von eine eine Teilmenge von ist gelten?

Ich verstehe nicht was du damit sagen willst. Vorgehensweisen "gelten" nicht.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja gezeigt, dass eine Teilmenge des Schnitts von ist. Wieso kann man nicht auch auf diese Weise zeigen, dass der Schnitt von eine Teilmenge von ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es vielleicht, aber das Argument Link ist sicherlich direkter. Dann muss man nicht so "kompliziert" argumentieren.
Fragewurm Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke!
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