Doppelintegral lösen

30.11.2017, 19:10

forbin

Doppelintegral lösen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bekommen:
[attach]45872[/attach]

Ok, ich dachte daran, eine Fallunterscheidung zu machen
1) Sei $\begin{eqnarray*} 0<x<y\leq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}{(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{y^{2}}dx)dy}} = \int\limits_{0}^{1}{(\frac{1}{y^{2}}\int\limits_{0}^{1}{1dx)dy}} = \int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{y^{2}}dy} \end{eqnarray*}$

Hm, das konvergiert ja schonmal nicht.
Da das mein erstes Doppelintegral ist wollte ich hier gerne wissen, ob mein Ansatz überhaupt der richtige ist?

30.11.2017, 20:23

Leopold

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RE: Doppelintegral lösen
$\begin{align*} x,y \end{align*}$ sind unterm Integral gebundene Variable. Man könnte sie jederzeit durch andere Variablen ersetzen:

$\begin{align*} \int \limits_0^1 \left( \ \int \limits_0^1 f(x,y) ~ \dd x \ \right) ~ \dd y \ = \ \int \limits_0^1 \left( \ \int \limits_0^1 f(s,t) ~ \dd s \ \right) ~ \dd t \end{align*}$

Es ist daher sinnlos, an solche gebundenen Variablen außerhalb des Bindungsbereichs Bedingungen zu stellen.

Zitat:

Original von forbin
1) Sei $\begin{eqnarray*} 0<x<y\leq 1 \end{eqnarray*}$

Vielmehr mußt hier den Integrationsbereich aufteilen, um die Definition durch Fallunterscheidung bei $\begin{align*} f(x,y) \end{align*}$ zur Geltung zu bringen. Ich mache es dir einmal beim ersten Integral vor:

$\begin{align*} \int \limits_0^1 \left( \ \int \limits_0^1 f(x,y) ~ \dd x \ \right) ~ \dd y \ = \ \int \limits_0^1 \left( \ \int \limits_0^y f(x,y) ~ \dd x \ + \int \limits_y^1 f(x,y) ~ \dd x \ \right) ~ \dd y \end{align*}$

Jetzt rechne weiter. Es ist dringend anzuraten, das Einheitsquadrat $\begin{align*} [0,1]^2 \end{align*}$ samt seiner Einteilung gemäß der Definition von $\begin{align*} f(x,y) \end{align*}$ zu zeichen und für jeden Teilbereich die Funktionsvorschrift dazu einzutragen.

01.12.2017, 14:19

forbin

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$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{1}{\Big(\int\limits_{0}^{1}{f(x,y)dx}\Big)dy} = \int\limits_{0}^{1}{\Big(\int\limits_{0}^{y}{f(x,y)dx+\int\limits_{y}^{1}{f(x,y)dx}}\Big)dy} = \int\limits_{0}^{1}{\Big(\int\limits_{0}^{y}{\frac{1}{y^{2}}dx+\int\limits_{y}^{1}{\frac{-1}{x^{2}}dx}}\Big)dy} = \\ \int\limits_{0}^{1}\Big({\frac{1}{y^{2}}\int\limits_{0}^{y}{dx+{[-x^{-1}]_{y}^{1}}}\Big)dy} = \int\limits_{0}^{1}\Big(\frac{1}{y^{2}}[x]_{0}^{y} + 1 -\frac{1}{y}\Big) = \int\limits_{0}^{1}(\frac{1}{y^{2}}\cdot y + 1 - \frac{1}{y} ) dy = \int\limits_{0}^{1}1\cdot dy = 1 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig gedacht?
"Wenn ich ja von 0 bis y über x integriere, dann ist ja x kleiner als y. Also muss ich den ersten Fall betrachten".

01.12.2017, 15:04

Leopold

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Das ist richtig gedacht. Und die Rechnung stimmt auch - bis auf ein falsches Vorzeichen, das aber in der späteren Rechnung nicht beachtet wird. Vermutlich ein Schreibfehler.

01.12.2017, 16:03

forbin

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Cool, danke.

Für den zweiten Teil habe ich -1 raus.
Ich kann leider gerade keine Formeln Posten, aber ich kann das nachholen.

01.12.2017, 16:08

Leopold

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Zitat:

Original von forbin
Für den zweiten Teil habe ich -1 raus.

Ich auch.