Ungleichung zeigen

02.12.2017, 14:24	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung zeigen Guten Tag zusammen, sei im Folgenden $\begin{align} f\Box g(x)=f(x)\int_{-\infty}^xg(y)\dd y+g(x)\int_{-\infty}^xf(y)\dd y \end{align}$ . Zu zeigen ist nun $\begin{align} \\|f\Box g\\|_1\le\\|f\\|_1\\|g\\|_1 \end{align}$ . Meine Überlegungen soweit: $\begin{align} \\|f\Box g\\|_1&=\int_{-\infty}^{\infty}\|f\Box g\|\dd x = \int_{-\infty}^{\infty}\left\| f(x)\int_{-\infty}^xg(y)\dd y+g(x)\int_{-\infty}^xf(y)\dd y\right\|\dd x\\<br /> &\le \int_{-\infty}^{\infty}\| f(x)\|\left\|\int_{-\infty}^xg(y)\dd y\right\|+\|g(x)\|\left\|\int_{-\infty}^xf(y)\dd y\right\|\dd x\\<br /> &\le \int_{-\infty}^{\infty}\| f(x)\|\int_{-\infty}^{\infty}\|g(y)\|\dd y+\|g(x)\|\int_{-\infty}^{\infty}\|f(y)\|\dd y\dd x \\<br /> &\le \int_{-\infty}^{\infty}\| f(x)\|\\|g\\|_1+\|g(x)\|\\|f\\|_1\dd x \end{align}$ Weiter komme ich leider nicht... Ich bin mir nicht mal sicher ob hier jeder Schritt so auch funktioniert und ob das überhaupt der richtige Ansatz ist um das Problem zu lösen. Wäre froh um ein paar Tipps. Gruss Sito
02.12.2017, 14:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{align} \leq \end{align}$ am Anfang der vorletzten Zeile ist zu grob abgeschätzt - das geht besser. Tipp: Das zweite Teilintegral kann man auch so schreiben $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \|g(x)\| \left\| ~\int\limits_{-\infty}^x f(y) ~ \dd y \right\| ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \|g(y)\| \left\| ~\int\limits_{-\infty}^y f(x) ~ \dd x \right\| ~ \dd y \end{align}$ .
02.12.2017, 15:26	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst mal Danke für den Tipp, aber ich muss zugeben, ich sehe es immer noch nicht... Mit deinem Tipp kann ich also folgende Zeile umschreiben zu: $\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\| f(x)\|\left\|\int_{-\infty}^{x}g(y)\dd y\right\|+\|g(x)\|\left\|\int_{-\infty}^{x}f(y)\dd y\right\|\dd x = \int_{-\infty}^{\infty}\| f(x)\|\left\|\int_{-\infty}^{x}g(y)\dd y\right\|\dd x+\int_{-\infty}^{\infty}\|g(y)\|\left\|\int_{-\infty}^{y}f(x)\dd x\right\|\dd y \end{align}$ für mich sieht das Ganze jetzt höchstens noch komplizierter aus als vorher...
02.12.2017, 15:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \|g(y)\| \left\| ~\int\limits_{-\infty}^y f(x) ~ \dd x \right\| ~ \dd y \leq \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^y \|g(y)\| \| f(x) \| ~ \dd x ~ \dd y \stackrel{!}{=} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_x^{\infty} \|g(y)\| \| f(x) \| ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ , letzteres mit Fubini!

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