Vorgehen bei doppeltem Eigenwert |
| 02.12.2017, 15:47 | Castyk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vorgehen bei doppeltem Eigenwert Hallo! Ich lerne gerade für die Klausur und bin auf Probleme mit den Eigenwerten gestoßen. In der Aufgabe im Anhang habe ich das charakteristische Polynom gebildet, welches folgendermaßen lautet: -x^3 + 11x^2 -39x + 45 Die erste Nullstelle habe ich geraten (x1 = 3) und habe Polynomdivision angewendet. Das Ergebnis lautet dann: -x^2 + 8x - 15 -> *(-1) x^2 - 8x + 15 Nun PQ Formel anwenden und es ergibt: x2= 5 ; x3=3 Und hier sind wir am Problem angelangt. Es kommt eine doppelte Nullstelle x1=x3=3 vor. In der Aufgabe soll man zeigen, dass die Matrix diagonalisierbar ist, dies kann aber nicht sein, wenn es zwei identische Eigenvektoren gibt. Wie gehe ich hier nun vor? Meine Ideen: (siehe oben) |
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| 02.12.2017, 16:21 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum sollte das nicht gehen? Die Einheitsmatrix hat sogar n-fach den Eigenwert 1 und ist offensichtlich diagonalisierbar. Entscheidend ist die geometrische Vielfachheit. EDIT: Ich würde aber zuerst da Polynom überprüfen. Das passt nicht so ganz zur Matrix. |
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| 02.12.2017, 16:34 | Castyk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Helferlein, Kannst du mir das bitte an dem obigen Beispiel erklären? Vielen lieben Dank |
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| 02.12.2017, 16:52 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehe mein Edit oben: Das Polynom stimmt nicht und daher auch die Eigenwerte nicht. Mit dem korrekten Polynom ist die Matrix diagonalisierbar mit einem doppelten Eigenwert und einem einfachen. |
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| 02.12.2017, 17:02 | Castyk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Helferlein, das war leider mein Fehler, ich habe die falsche Aufgabe angehängt 
Hier ist nun die richtige. Mich wundert halt nur weil das diagonalisieren einer Matrix ja folgendermaßen funktioniert: Sei S eine Eigenvektormatrix und A die gegebene Matrix, dann diagonalisiert man die Matrix durch: S o A o S^-1 Die Inverse kann ja bei doppelten Eigenvektoren nicht gebildet werden. |
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| 02.12.2017, 17:59 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was verstehst Du unter einem doppelten Eigenvektor? Wie oben geschrieben, geht es um die geometrische Vielfachheit, also die Dimension des Eigenraums. Ist die gleich der algebraischen Vielfachheit, dann ist die Matrix diagonalisierbar, andernfalls nicht. |
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| 02.12.2017, 18:16 | Castyk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, um das zusammenzufassen: Wenn eine doppelte NS existiert, setzt man diese in die Matrix ein anstelle von Skalar und schaut ob der Eigenraum eine Dimension von 2 hat. Ist das der Fall, ist die Matrix diagonalisierbar. So noch kurz eine Nachfrage zur b): Wie setzt sich denn nun S zusammen? Aus den Basisvektoren der Eigenräume wenn ich den Zusammenhang jetzt richtig verstehe? |
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| 02.12.2017, 18:50 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es |
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