Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable bestimmen

02.12.2017, 16:08

sophox

Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable bestimmen

Meine Frage:
Hallo, ich hofffe jemand kann mir vielleicht bei meiner Stochastik Aufgabe helfen. : )
Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ und sei
$\begin{eqnarray*} Y=aX+b \end{eqnarray*}$ mit den Konstanten $\begin{eqnarray*} a\neq 0, b\in \mathbb R . \end{eqnarray*}$
Zu bestimmen ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb E (Y) = a \cdot \mathbb E(X) + b\\ Var(Y) = Var(aX+b) = a^2 \cdot Var(X) \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich die Verteilungsfunktion bestimmen?

02.12.2017, 17:02

HAL 9000

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Gehe schlicht nach Definition der Verteilungsfunktion und forme die definierende Ungleichung äquivalent um! Im Fall $\begin{align*} a>0 \end{align*}$ gilt für alle reellen Zahlen $\begin{align*} y \end{align*}$

$\begin{align*} F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(aX+b \leq y) = P(aX\leq y-b) = P\left( X\leq \frac{y-b}{a}\right) = F_X\left( \frac{y-b}{a}\right) \end{align*}$ .

Im Fall $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ sieht es aber anders aus - warum?

02.12.2017, 17:22

sophox

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Muss ich für den Fall a<0 die Ungleichung folgendermaßen schreiben, da ich ja durch eine negative Zahl dividiere?

$\begin{align*} . P\left(X \geq \frac{y-b}{a}\right) = 1-P\left(X \leq \frac{y-b}{a}\right)= 1-F_X\left(\frac{y-b}{a}\right) \end{align*}$

Stimmt diese Umformung? Ich bin mir sehr unsicher, ob ich das so machen darf...

02.12.2017, 17:30

HAL 9000

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Stimmt nicht ganz: Das Gegenteil von > ist nicht <, sondern < !!! Dementsprechend gilt im Fall $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ dann

$\begin{align*} F_Y(y) = P\left(X \geq \frac{y-b}{a}\right) = 1-P\left(X < \frac{y-b}{a}\right)\qquad (*) \end{align*}$

Im Fall einer stetigen Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ ist das tatsächlich dasselbe wie $\begin{align*} 1-P\left(X \leq \frac{y-b}{a}\right) \end{align*}$ , aber ich lesen oben nichts von einer derartigen Voraussetzung an $\begin{align*} X \end{align*}$ , daher müssen wir hier schon noch "allgemein" bleiben! Bleibt also noch die Frage zu klären, wie schreibt man (*) mit der Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X \end{align*}$ ? Augenzwinkern

02.12.2017, 18:06

sophox

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$\begin{align*} F_Y(y) = P\left(X \geq \frac{y-b}{a}\right) = 1-P\left(X < \frac{y-b}{a}\right)\qquad (*) \end{align*}$

Kann ich das schreiben als:
$\begin{align*} F_Y(y) = P\left(X \geq \frac{y-b}{a}\right) = 1-P\left(X < \frac{y-b}{a}\right) \\ = 1 - P\left(X \leq \frac{y-b}{a}\right) - P\left(X = \frac{y-b}{a}\right) \\ = 1 - F_X\left(X \leq \frac{y-b}{a}\right) - P\left(X = \frac{y-b}{a}\right) \end{align*}$

Aber kann ich
$\begin{align*} P\left(X = \frac{y-b}{a}\right) \end{align*}$
noch irgendwie umschreiben?

02.12.2017, 18:13

HAL 9000

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Du hast da noch einen Vorzeichenfehler, richtig ist $\begin{align*} F_Y(y) = 1 - F_X\left(\frac{y-b}{a}\right) ~{\color{red}+}~ P\left(X = \frac{y-b}{a}\right) \end{align*}$ .

Letztendlich muss man den linksseitigen Grenzwert der Verteilungsfunktion an dieser Stelle heranziehen, d.h., es ist dort dann

$\begin{align*} F_Y(y) = 1-\lim_{t\nearrow \frac{y-b}{a}} F_X(t) = 1-F_X\left( \frac{y-b}{a} - 0\right) \end{align*}$ ,

ich weiß nicht, ob dir diese ganz rechts stehende (mathematisch eigentlich nicht einwandfreie) Darstellung dieses linksseitigen Grenzwertes geläufig ist. Augenzwinkern

P.S.: In dem Sinne ist dann tatsächlich $\begin{align*} P\left( X=\frac{y-b}{a}\right) = F_X\left( \frac{y-b}{a}\right) - F_X\left( \frac{y-b}{a} - 0\right) \end{align*}$ .

02.12.2017, 18:22

sophox

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Danke für den Hinweis mit dem Vorzeichen : )

Die letzten zwei Formeln habe ich leider nicht ganz verstanden...ist die Aufgabe auch mit der ersten Formel ausreichend gelöst? Muss ich das P(X=...) noch so umformen?
Und warum bilde ich den linksseitigen Limes? Muss eine Verteilungsfunktion nicht nur rechtsseitig stetig sein?

02.12.2017, 18:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von sophox
Danke für den Hinweis mit dem Vorzeichen : )

Die letzten zwei Formeln habe ich leider nicht ganz verstanden...ist die Aufgabe auch mit der ersten Formel ausreichend gelöst?

So wie ich die Aufgabenstellung verstehe: Nein!

Es soll $\begin{align*} F_Y \end{align*}$ mit $\begin{align*} F_X \end{align*}$ ausgedrückt werden, und nur damit, d.h. nicht noch mit Extrawürsten wie P(X=...).

Zitat:

Original von sophox
Muss eine Verteilungsfunktion nicht nur rechtsseitig stetig sein?

Ja klar, aber was hat das mit dem Problem hier zu tun? Mach dir einfach mal klar, warum für jede reelle Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ und jede reelle Zahl $\begin{align*} x \end{align*}$ die Gleichung

$\begin{align*} P(X=x ) = P(X\leq x) - P(X < x) = F_X(x) - F_X(x-0) \end{align*}$

gilt. Hat was mit Maßstetigkeit zu tun, z.B. kannst du es dir über $\begin{align*} P(X=x) = \lim_{\varepsilon\searrow 0} P(x-\varepsilon < X\leq x) \end{align*}$ klarmachen.

02.12.2017, 18:35

sophox

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Also ist demnach
$\begin{align*} P\left(X=\frac{y-b}{a}\right) = 0 \end{align*}$
falls ich das richtig verstanden habe? In unserer Vorlesung wurden nämlich nie Fälle von unstetigen Verteilungsfunktionen behandelt und Maßstetigkeit habe ich auch noch nie gehört...

02.12.2017, 18:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von sophox
Also ist demnach
$\begin{align*} P\left(X=\frac{y-b}{a}\right) = 0 \end{align*}$
falls ich das richtig verstanden habe?

Nur im Fall stetiger Zufallsgrößen.

Zitat:

Original von sophox
In unserer Vorlesung wurden nämlich nie Fälle von unstetigen Verteilungsfunktionen behandelt

Ihr habt also nie diskrete Zufallsgrößen (wie Binomialverteilung, geometrische Verteilung, Poissonverteilung...) behandelt, welche samt und sonders unstetige Verteilungsfunktionen (genauer: Treppenfunktionen) haben??? Irgendwie unglaubwürdig. unglücklich

Zitat:

Original von sophox
und Maßstetigkeit habe ich auch noch nie gehört

Ich habe "Maßstetigkeit" erwähnt in der vagen Hoffnung, dass du Kenntnisse in Maßtheorie hast. Aber anscheinend nicht, dann vergiss den Begriff.

04.12.2017, 17:35

sophox

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Tut mir leid, da habe ich wohl zu schnell getippt ohne nachzudenken...
Aber was macht das - 0?
$\begin{eqnarray*} F_x\left(\frac{y-b}{a}-0\right) \end{eqnarray*}$
Das verstehe ich leider nicht ganz...

04.12.2017, 18:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von sophox
Aber was macht das - 0?
$\begin{eqnarray*} F_x\left(\frac{y-b}{a}-0\right) \end{eqnarray*}$

Meine Güte, liest du auch die Beiträge? Anscheinend nicht. Forum Kloppe

Ich habe oben doch betont, dass $\begin{align*} F_X(x-0) := \lim_{t\nearrow x} F_X(t) \end{align*}$ bedeuten soll, d.h., der linksseitige Grenzwert der Funktion $\begin{align*} F_X \end{align*}$ an der Stelle $\begin{align*} x \end{align*}$ . Hab extra auch nochmal betont, dass die Bezeichnung ein wenig heikel ist, aber das war wieder mal voll für die Mülltonne geschrieben. böse

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