Konvergenz, Divergenz von Reihen

02.12.2017, 17:48

Kathreena

Konvergenz, Divergenz von Reihen

Konvergent oder Divergent ?
1. ) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{10k+12} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!(k+2)}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2^{k+1}}{k^k} \end{eqnarray*}$ für k=gerade und $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{3^k} \end{eqnarray*}$ für k = ungerade.

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Meine Idee:
Ich hab sie schon gerechnet, aber es war irgendwie "zu leicht", und meistens wenns zu leicht ist, hab ichs einfach falsch gerechnet:

1.)Majorantenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{10k+12} \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ Und da die Harmonische Reihe divergiert, divergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{10k+12} \end{eqnarray*}$

2.)Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!(k+2)}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!(k+3)}{k!(k+2)} \cdot \frac{(2k+1)!}{(2k+3)!} = \frac{(k+1)(k+3)}{(2k+3)(k+2)} = \frac{k^2+4k+3}{2k^2+7k+6} = \frac{1+\frac{4}{k}+\frac{3}{k^2} }{2+\frac{7}{k} + \frac{6}{k^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{1+\frac{4}{k}+\frac{3}{k^2} }{2+\frac{7}{k} + \frac{6}{k^2} } = \frac{1}{2} < 1 \end{eqnarray*}$ Also absolut Konvergent.

3.) Wurzelkriterium:

k = gerade

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2^{k+1}}{k^k} = \frac{2^k \cdot 2}{k^k} = (\frac{2 }{k})^k\cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{(\frac{2 }{k})^k\cdot 2} = \frac{2 }{k}\cdot \sqrt[k]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{2 }{k}\cdot \sqrt[k]{2} = 0 < 1 \end{eqnarray*}$ absolut Konvergent

k = ungerade

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{3^k} \end{eqnarray*}$
Mit Wurzelkriterium:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{1}{3^k}} = \frac{1}{3} < 1 \end{eqnarray*}$ Ebenfalls absolut Konvergent

Also ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ Konvergent

02.12.2017, 18:12

Helferlein

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Zu 1) Deine Ungleichung ist zwar korrekt, aber ich sehe nicht, wieso die vorgegebene Reihe divergieren sollte, nur weil es "darüber" eine Reihe gibt, die divergiert. Mit der Begründung wäre ja auch die Nullsumme divergent.
Du benötigst eine divergente Minorante.

Zu 2) Grundsätzlich keine schlechte Idee, aber irgendwie passt die Rechnung nicht zu dem Term. Wo hast Du die Fakultäten her und wo hast Du 2(k+1)+1 versteckt?

Zu 3) Du hast zwei Teilfolgen (k gerade/ungerade) betrachtet. Was ist aber, wenn beide Varianten auftreten, also die Indexmenge so gewählt wird, dass sowohl gerade, als auch ungerade Indizes auftreten?

02.12.2017, 18:32

Kathreena

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Bei 2.) hatte ich bei der Angabe die Fakultät im Nenner vergessen, da steht natürlich (2k+1)! (nun hab ichs geändert)

Und stimmt, ich hab vergesesn das ich für k+1 dann so rechnen muss. (2(k+1)+1)!

zu 3.) hm ok, muss ich nochmal nachschaun wie man das macht.

02.12.2017, 18:52

Helferlein

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Da Du in beiden Fällen von Konvergent ausgehst, solltest Du vielleicht versuchen für beide eine konvergente Majorante zu finden.

03.12.2017, 13:39

Kathreena

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1.) Habe ich nun mit Quotientenkriterium Divergenz nachgewiesen:

$\begin{eqnarray*} \frac{10k+12}{10k+22} = \frac{k(10+\frac{12}{k}) }{k(10+\frac{22}{k}) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k(10+\frac{12}{k}) }{k(10+\frac{22}{k}) } = 1 \geq 1 \end{eqnarray*}$
Also Divergenz.

2.) Da warn nur paar Umformungsfehler drinn, hab ich auf dem Papier ausgebessert, will ich aber nichnochmal hier aufschreiben.

3.)Hier hab ich das problem, das ich nich ganz versteh, wie ich überhaupt eine Konvergente Reihe finden soll, außer durch rumprobieren, und dann beweisen.

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2^{k+1}}{k^k} = 2 (\frac{2}{k} )^k \end{eqnarray*}$

Also für Majorantenkriterium gilt ja, ich muss eine Reihe finden die für fast alle k größer ist, aber eben nicht für alle. Also dachte ich ich machs so:

$\begin{eqnarray*} 2 (\frac{2}{k} )^k \leq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^k} \leq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Also folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \leq \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Und:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ ist Konvergente Reihe.

03.12.2017, 18:54

Helferlein

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Das sieht doch schon viel besser aus Freude

03.12.2017, 18:57

IfindU

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Damit ich das nicht noch einmal tippen muss:

Zitat:

Original von IfindU
Gegen die Ergebnisse habe ich auch keinen Einwand. Aber das Quotientenkriterium liefert hier keine Aussage. Der Grenzwert 1 bedeutet hier nur, dass weder ein exponentieller Abfall oder Anstieg stattfindet. Alles andere sieht das Kriterium einfach nicht.

Bei 2) wäre auch einfach $\begin{eqnarray*} b_k = 2^{k+1}/k^k + 3^{-k} \end{eqnarray*}$ eine passende Majorante gewesen.

03.12.2017, 19:23

Kathreena

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Zitat:

Original von IfindU

Bei 2) wäre auch einfach $\begin{eqnarray*} b_k = 2^{k+1}/k^k + 3^{-k} \end{eqnarray*}$ eine passende Majorante gewesen.

Wie kommt man auf diese Majorante ? bzw. wie siehst du überhaupt, das die Reihe größer ist, als:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k!(k+2)}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

03.12.2017, 19:26

IfindU

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Mein Fehler. Ich meinte natürlich bei 3.

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