Irreduzibel in Z[i] oder nicht?

03.12.2017, 11:52	LaLiLuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibel in Z[i] oder nicht? Meine Frage: Ich muss angeben, ob bestimmte Elemente in Z[i] irreduzuibel sind oder nicht und warum.Für einige habe ich das auch schon hinbekommen, aber bei (-5+0i) und (0+5i) komme ich nicht weiter. Kann mir jemand weiterhelfen? Meine Ideen: Die meisten Sätze, die wir dazu in der Vorlesung hatten, beziehen sich auf Primzahlen und nützen mir somit nichts. Übrig sind noch: 1. Sei a aus Z[i]. a ist irreduzibel, wenn a zu einer Primzahl p assoziiert ist, für die gilt p-3 ist durch 4 teilbar in Z. 2. a ist irreduzibel, wenn es eine Primzahl q aus N gibt,so dass q-1 durch 4 teilbar ist in Z und a zu einem irreduziblen Teiler von q assoziiert ist in Z[i]. Ich probiere jetzt schon eine Weile rum, finde aber nichts.
03.12.2017, 12:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier mal $\begin{eqnarray} 5=z\overline z=(a+bi)(a-bi) \end{eqnarray}$ . Das gibt gleich mehrere Zerlegungen.
03.12.2017, 12:21	LaLiLuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hilft mir leider auch nicht so richtig. Es war quasi der erste Teil der Aufgabe alle Teiler von 5 in Z[i] zu finden. Die von denen ich schon rausgefunden habe, dass sie irreduzibel sind, sind: ((2+1i), (2-1i), (-2-1i), (-2+1i), (1+2i), (1-2i), (-1+2i) und (-1-2i). Allerdings sind (-5+0i) und (0+5i) zu keinem von denen assoziiert, oder?
03.12.2017, 12:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einheiten in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \pm1,\pm i \end{eqnarray}$ , also sind $\begin{eqnarray} 5,-5,5i,-5i \end{eqnarray}$ assoziiert. Wenn du 5 zerlegen kannst, kannst du alle zu 5 assoziierten Elemente zerlegen.

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