Basisbestimmung

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04.12.2017, 10:41	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisbestimmung Hallo es geht um folgende Aufgabe: Erstmal zu i) Es handelt sich doch um symmmetrische Matrizen, d.h die Einträge werden an der Diagonale gespiegelt. Wenn ich nur die Diagnale haben will und sonst 0, brauche ic E_ii als Basiselement mit i=1,.....,n . Für die restlichen Matrizen muss ich einen Eintrag an der ij-Stelle spiegeln können. Das würde ich so machen: E_ij +E_ji mit i,j=1,....,n und i<j. Das heißt meine Basis ist B={E_ii,(E_ij+E_ji)} Stimmt das? Reicht das so? Und wie kann ich ii machen?
04.12.2017, 13:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(i) Wenn du mit $\begin{eqnarray} E_{ij} \end{eqnarray}$ die Matrix meinst, die genau an der Stelle i,j gleich 1 und sonst gleich 0 ist, dann stimmt die Basis für $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Die Klammer bei (E_ij+E_ji) ist allerdings überflüssig. (ii) Überlege, was $\begin{eqnarray} a_{ij}=-a_{ji} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ bedeutet und was es für $\begin{eqnarray} i\ne j \end{eqnarray}$ bedeutet.
04.12.2017, 13:52	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Verständnis. Wie würde ich die Dimension bei i) erhalten? Ok zu ii): Im Fall $\begin{eqnarray} i=j \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} a_{ij} = a_{ii} =a_{jj}=0 \end{eqnarray}$ sein, d.h auf der Diagonalen stehen nur 0. D.h doch dass ich die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} E_{ii} \end{eqnarray}$ als Basiselement, wie in 1 nicht brauchen würde. Im Fall $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ muss ich ja einen Eintrag $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ so spiegeln an der Hauptdiagonalen, dass ich $\begin{eqnarray} -a_{ji} \end{eqnarray}$ . Das geht dann mit $\begin{eqnarray} E_{ij} - E_{ji}. \end{eqnarray}$ für i,j=1,...,n und i<j. D.h meine Basis ist $\begin{eqnarray} B=\{E_{ij} - E_{ji} \} \end{eqnarray}$ Zur iii): Die direkte Summe hatte im Unterschied zur normalen Summe die Bedingung, dass der Schnitt in dem Beispiel jetzt $\begin{eqnarray} U \cap W =0 \end{eqnarray}$ Wie mache ich dass dann genau: Es gilt ja $\begin{eqnarray} B_U = (\{E_{ii} ,E_{ij}+E_{ji} \} ) \cap ( B_W =\{E_{ij} - E_{ji} \}) =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_V = B_U + B_W = \{E_{ii} ,E_{ij}+E_{ji}, E_{ij} - E_{ji} \} \end{eqnarray}$ Was muss ich dann noch zeigen?
04.12.2017, 14:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles erledigt. Die Dimensionen sind, wie man leicht nachzählt, $\begin{eqnarray} dim(U)=\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)} 2 , dim (W)=\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{(n-1)n}2, dim(U)+dim(W)=n^2=dim(U\oplus W)=dim(V) \end{eqnarray}$
04.12.2017, 14:40	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt Aber muss ich nicht noch irgendwie nachweisen, dass meine Basis auch V erzeugt?
04.12.2017, 14:55	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie zählst du z.b bei U?
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04.12.2017, 18:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in U\Rightarrow A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ...&...&...&...\\a_{1n} & a_{2n} &...& a_{nn} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^n\sum_{j\le i}E_{ij}+E_{ji} \end{eqnarray}$ So etwa hast du die Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ gewählt, ich habe die Hauptdiagonale nicht gesondert betrachtet, weil sie auch so in das Schema passt, und in den Zeilen 1 bis n tritt jeweils ein interessantes Matrixelement weniger auf. Von unten nach oben also die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^nk \end{eqnarray}$ , deren Wert der siebenjährige Carl Friedrich für uns berechnet hat. Für $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ geht das genauso, nur dass da schon die Matrixelemente der Hauptdiagonale alle =0 , also uninteressant, sind. $\begin{eqnarray} V=U+W \end{eqnarray}$ ist klar, weil die Summe direkt ist und weil die Dimensionen stimmen. Geht aber auch so: $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in V\Rightarrow A=\sum_{i,j=1}^n (\frac 1 2 a_{ij}(E_{ij}+E_{ji})+\frac 1 2 a_{ij}(E_{ij}-E_{ji})) \end{eqnarray}$
04.12.2017, 18:32	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Elvis Wie kommst du auf diese letzte Summe mit dem 1/2 und inwiefern zeigt es dass U+W=V ist?
04.12.2017, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme nicht darauf, ich weiß, dass es so ist. Und du weißt es auch, wenn du einen Summanden nachrechnest. U und W sind UVRe von V - hast du bewiesen. Deshalb ist U+W UVR von V. Nun ist auch jede Matrix aus V in der Summe von U und W, also V UVR von U+W. Also Gleichheit der Vektorräume.
04.12.2017, 22:15	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe das leider nicht Nochmal zu i) Die Basis dann nur B={E_ij + E_ji}. Ich hatte ja vermutet: B={E_ij + E_ji, E_ii}
05.12.2017, 07:54	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal zu deiner Summe mit1/2. Die muss man doch beweisen, also 1. Sei B aus K^(n×n) : Dann ist S:= 1/2(B+B^T) symmentrisch, denn wegen der Linearität des Transponierens gilt: S^T = 1/2 (B+B^T)^T = 1/2 ( B^T + B) = S. Für das andere auch so. Stimmt das?
05.12.2017, 08:11	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich noch eine Frage, wie ich zeige, dass i und ii Basen bilden. Also muss ich die lineare Unabhängigkeit nachweisen sowie dass die Elemente in der Basis ein EZS bilden.
05.12.2017, 08:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ergibt sich alles aus der Tatsache, dass E_ij eine Basis von V ist. Und es ist 1/2 a Eij+1/2 a Eji+1/2 a Eij-1/2 a Eji= a Eij
05.12.2017, 08:48	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn meine Basis in i) . Wie zeige ich die Basiseigenschaften?
05.12.2017, 11:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so, wie man es für die Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ zeigt. $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in V\Rightarrow A=\sum_{i,j=1}^na_{ij}E_{ij} \end{eqnarray}$ , also Erzeugendensystem. Linear unabhängig ist trivial: wenn man eine Basismatrix nimmt, steht nur an einer Stelle eine 1, an allen anderen Stellen 0, das ist genau so wie bei der Standardbasis eines jeden $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ habe ich es oben schon zu zeigen versucht: $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in U\Rightarrow A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ...&...&...&...\\a_{1n} & a_{2n} &...& a_{nn} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^n\sum_{j\le i}E_{ij}+E_{ji} \end{eqnarray}$ Da hat sich nur ein winziger Fehler eingeschlichen, richtig ist: $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in U\Rightarrow A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ...&...&...&...\\a_{1n} & a_{2n} &...& a_{nn} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^n\sum_{j\le i}a_{ij}(E_{ij}+E_{ji}) \end{eqnarray}$
05.12.2017, 15:01	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurzer Einschub. Meine Basis aus i) besteht nur aus einem Element B={E_ij +E_ji} Ich hatte abgenommen B={E_ij +E_ji, E_ii}. Was ist denn jetzt richtig?
05.12.2017, 18:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist das ein Element ? Das sind viele Elemente in der Basis, denn du hast geschrieben "Das würde ich so machen: E_ij +E_ji mit i,j=1,....,n und i<j." Ich habe lediglich $\begin{eqnarray} i<j \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} i\le j \end{eqnarray}$ ersetzt, damit nicht zusätzlich die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ weiteren Matrizen $\begin{eqnarray} E_{ii} \end{eqnarray}$ gebraucht werden.
05.12.2017, 23:09	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso ich verstehe das jetzt. Der Beweis für die andere Basis geht wsl analog. Das bei iii) ist mir noch nicht klar: Du schreibst. Das ergibt sich alles aus der Tatsache, dass E_ij eine Basis von V ist. Und es ist 1/2 a Eij+1/2 a Eji+1/2 a Eij-1/2 a Eji= a Eij Warum? Mein Weg geht wohl nicht? Sei B aus K^(n×n) : Dann ist S:= 1/2(B+B^T) symmentrisch, denn wegen der Linearität des Transponierens gilt: S^T = 1/2 (B+B^T)^T = 1/2 ( B^T + B) = S. Für das andere auch so.
06.12.2017, 11:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das läuft vermutlich auf dasselbe hinaus. Du kannst zeigen $\begin{eqnarray} B\in V\Rightarrow B=\frac 1 2 (B+B^T)+\frac 1 2 (B-B^T)\in U+W \end{eqnarray}$ , indem du die Summe und Differenz als symmetrisch und antisymmetrisch nachweist. Ich habe einfach $\begin{eqnarray} A\in V \end{eqnarray}$ als Linearkombination in den Basen aus $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ dargestellt, deshalb bin ich fertig und muss nichts mehr nachweisen.
06.12.2017, 13:12	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha jetzt verstehe ich das. Dein Weg ist ja wirklich elegant Nochmal zum Nachweis, dass die Basis von W ein EZS bildet. $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in W\Rightarrow A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ...&...&...&...\\a_{1n} & a_{2n} &...& a_{nn} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^n\sum_{j\ <i}a_{ij}(E_{ij}-E_{ji}) \end{eqnarray}$ Wie kriege ich den Fall i=j, dass a_ij=0 ist in diese Schreibweise.
06.12.2017, 13:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Matrix falsch angesetzt, eine antisymmetrische Matrix sieht anders aus: $\begin{eqnarray} B=(b_{ij})\in W\Rightarrow B=\begin{pmatrix} 0 & b_{12} & ... & b_{1n} \\ -b_{12} & 0 & ... & b_{2n} \\ ...&...&...&...\\-b_{1n} & -b_{2n} &...& 0 \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^n\sum_{i< j}b_{ij}(E_{ij}-E_{ji}) \end{eqnarray}$ Daran sieht man, dass es nur auf die strikt obere Dreiecksmatrix ankommt $\begin{eqnarray} (i<j) \end{eqnarray}$ , denn die Hauptdiagonale ist 0 und alles darunter festgelegt.
06.12.2017, 13:33	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso. Wenn ich die Summe richtig verstehe, heißt das für j=1 i nicht gleich 1 sein kann usw. D.h die a_ii sind einfach 0. Habe ich das richtig verstanden. Es geht mir gerade nur um das Formale. Die Gestalt verstehe ich jetzt? Für die lineare Unabhängigkeit reicht zu argumentieren, dass jedes Element aus der Basis nur an der Stelle a_ij und a_ji einen Eintrag hat für i,j=1,.....,n und i<j.
06.12.2017, 13:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn rechts oben ist das j immer größer als i und j=1 kommt nicht vor, man betrachtet alles ab der 2. Spalte. Ja, so sieht lineare Unabhängigkeit in der Standardbasis aus, da gibt es in jedem Vektor nur einen Eintrag. Die ganze Aufgabe ist nur dafür da, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie einfach eine Basis an sich ist. Physiker haben dieses Gefühl sprachlich dadurch ausgedrückt, dass sie von "Freiheitsgraden" reden. Die Anzahl der "Freiheitsgrade" ist die Dimension des Vektorraumes.
06.12.2017, 14:52	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir Noch ein letztes. Bei der direkten Summe muss ich ja nachweisen, dass der Schnitt 0 ist. Mir geht es um das formale richtige aufschreiben: Es gilt ja $\begin{eqnarray} B_U = (E_{ij}+E_{ji} \} \cap ( B_W =\{E_{ij} - E_{ji} \}) =0 \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} B_U=B_U = \{E_{ij}+E_{ji} \} \end{eqnarray}$ für i,j=1,...,n und $\begin{eqnarray} i \leq j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_W =\{E_{ij} - E_{ji} \} \end{eqnarray}$ mit j<i. Stimmt das?
06.12.2017, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U \cap W =\{0\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B_U = \{E_{ij}+E_{ji}:i,j\in \{1,...,n\},i\le j\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_W =\{E_{ij} - E_{ji} :i,j\in \{1,...,n\},i<j\} \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} (a_{ij})\in U\cap W\Rightarrow a_{ij}=a_{ji}=-a_{ji}\Rightarrow a_{ij}=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i,j\in \{1,...,n\} \end{eqnarray}$
06.12.2017, 19:29	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe Warum schreibst du einmal $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n\sum_{j\le i}a_{ij}(E_{ij}+E_{ji}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_U = \{E_{ij}+E_{ji}:i,j\in \{1,...,n\},i\le j\} \end{eqnarray}$ Einmal ist dein $\begin{eqnarray} j\le \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} i\le j \end{eqnarray}$ Warum?a
06.12.2017, 19:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil es bei symmetrischen Matrizen egal ist, ob man oben oder unten betrachtet. Symmetrische Matrizen heißen symmetrisch, weil sie symmetrisch sind. (Zugegeben, ich habe nicht besonders aufgepasst, ... weil es egal ist.)
06.12.2017, 19:45	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
D.h ich kann auch schreiben: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n\sum_{i\le j}a_{ij}(E_{ij}+E_{ji}) \end{eqnarray}$
06.12.2017, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt nicht. Dann muss die erste Summe über j laufen, sonst ist j nicht quantifiziert.
07.12.2017, 06:41	Richard432	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir für deine tolle Hilfe

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