Konvergenz Reihe, Fallunterscheidung

04.12.2017, 13:18

Kathreena

Konvergenz Reihe, Fallunterscheidung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{x^k+\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$

Hinweis: Fallunterscheidung, bezüglich:

$\begin{eqnarray*} x: |x| >1 , x = 1, |x| <1 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{x^k+\sqrt{k} } = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } \end{eqnarray*}$

1. Fall x = 1:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ Ist Nullfolge

Wurzelkriterium:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+\sqrt{k}}} = 1/2 \end{eqnarray*}$ Also Absolut Konvergent.

2. Fall |x| >1:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } \end{eqnarray*}$

Hier komm ich nich weiter, im prinzip kann ja x immer größer oder gleichgroß wie k sein, dann hab ich hier keine Nullfolge, das gleiche bei |x| <1. Aber wahrscheinlich versteh ich die Aufgabe nicht richtig.

04.12.2017, 15:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz Reihe, Fallunterscheidung

Zitat:

Original von Kathreena
Wurzelkriterium:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{1}{1+\sqrt{k}}} = 1/2 \end{eqnarray*}$ Also Absolut Konvergent.

Wie kommst du auf den Grenzwert 1/2 ?

Zitat:

Original von Kathreena
Hier komm ich nich weiter, im prinzip kann ja x immer größer oder gleichgroß wie k sein, dann hab ich hier keine Nullfolge

Es ist leicht einzusehen, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{\sqrt k}{x^k} = 0 \end{eqnarray*}$ ist für |x| > 1.

Zitat:

Original von Kathreena
das gleiche bei |x| <1.

Da sieht die Welt aber wieder anders aus. Außerdem mußt du noch die Fälle x= -1 und x=1 separat untersuchen. smile

04.12.2017, 19:11

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz Reihe, Fallunterscheidung

Zitat:

Original von klarsoweit

Wie kommst du auf den Grenzwert 1/2 ?

Stimmt, hab ich falsch aufgelöst.

x=1
Minorantenkrit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\sqrt{k}} \geq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ Also Divergent

x=-1
Manorantenkrit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\sqrt{k}} \leq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ Also Konvergent

2. Fall |x| >1:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } = 1 \end{eqnarray*}$ Also Divergenz bewiesen oder ?

3. Fall |x| <1:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } = 0 \end{eqnarray*}$ Also Nulfolge schonmal.

Nun komm ich da nich weiter, wahrscheinlich muss ich eine Majorantefolge finden, find ich aber nciht.

05.12.2017, 09:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz Reihe, Fallunterscheidung

Zitat:

Original von Kathreena
x=1
Minorantenkrit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\sqrt{k}} \geq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ Also Divergent

Im Prinzip ok, allerdings gilt die Ungleichung nicht für endlich viele k. smile

Zitat:

Original von Kathreena
x=-1
Manorantenkrit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\sqrt{k}} \leq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ Also Konvergent

Erstens müßte dafür gelten, daß $\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{1}{1-\sqrt k} \end{eqnarray*}$ ist, und zweitens lautet der Bruch eigentlich $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k}{(-1)^k+\sqrt k} \end{eqnarray*}$ . Lehrer

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } = 1 \end{eqnarray*}$ Also Divergenz bewiesen oder ?

Ja.

Zitat:

Original von Kathreena
3. Fall |x| <1:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } = 0 \end{eqnarray*}$ Also Nulfolge schonmal.

Nun komm ich da nich weiter, wahrscheinlich muss ich eine Majorantefolge finden, find ich aber nciht.

Nun ja, wie man leicht sieht, ist für x > 1 $\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x^k+\sqrt k} \leq x^k \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Dann fehlt nur noch der Fall x < -1 .

05.12.2017, 10:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Dann fehlt nur noch der Fall x < -1 .

Also ich kann selbst bei sorgfältiger Betrachtung des Threads nicht erkennen, dass da irgendwo die tatsächlich vorliegende Divergenz (!) im Fall x=-1 sauber nachgewiesen wurde. Augenzwinkern

05.12.2017, 15:38

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal
Fall1:
x=1 hab ich bewiesen:
Minorantenkrit:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\sqrt{k}} \geq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ Also Divergent

x=-1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{(-1)^k} } \end{eqnarray*}$

Da hab ichs nun mit Leibnitzkriterium versucht.
Grenzwert vom Betrag muss 0 sein.

$\begin{eqnarray*} |\lim_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{(-1)^k} } | = 0 \end{eqnarray*}$

Und Betrag der Folge muss monoton fallend, oder monoton steigend sein.

$\begin{eqnarray*} |a_{k+1}| \leq |a_k| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k+1}}{(-1)^{k+1}} } | \leq |\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{(-1)^k} } | \end{eqnarray*}$ Da erkannt man schon das es monoton fallend ist. Also Konvergenz bewiesen, nach Leibnitzkriterium.

Fall2:
x>1
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{x^k} } = 1 \end{eqnarray*}$ Keine Nullfolge, also Divergenz

Fall3:
x<1
$\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x^k+\sqrt k} \end{eqnarray*}$ Ich weiß garnich, warum ich mir so sicher war, das das eine Nullfolge ist.
Es is doch eine alternierende Reihe, aber das Leibnitzkriterium funktioniert hier ja garnicht.

Majorante für alternierenden Reihen gibts sowas ? Der Tipp für x > 1 $\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x^k+\sqrt k} \leq x^k \end{eqnarray*}$ hilft mir auch nicht weiter.

05.12.2017, 15:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k+1}}{(-1)^{k+1}} } | \leq |\frac{1}{1+\frac{\sqrt{k}}{(-1)^k} } | \end{eqnarray*}$ Da erkannt man schon das es monoton fallend ist.

Ich erkenne das nicht - weil es falsch ist, d.h., die Folge der Beträge ist nicht monoton fallend. unglücklich

EDIT: Ich sehe gerade, dass für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ das erste Reihenglied von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{x^k+\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist. Insofern kann man sich natürlich auf den Standpunkt stellen, $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ gar nicht betrachten zu müssen (in Hinblick darauf muss man aber auch noch weitere negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte wegen Nichtdefiniertheit des einen oder anderen Reihengliedes ausschließen) - oder man diskutiert in diesem Fall das Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(-1)^k+\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

05.12.2017, 16:09

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht steht deswegen auch im Hinweis nur, x=1, und nix von x=-1

06.12.2017, 09:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
Fall3:
x<1
$\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x^k+\sqrt k} \end{eqnarray*}$ Ich weiß garnich, warum ich mir so sicher war, das das eine Nullfolge ist.
Es is doch eine alternierende Reihe, aber das Leibnitzkriterium funktioniert hier ja garnicht.

Majorante für alternierenden Reihen gibts sowas ? Der Tipp für x > 1 $\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x^k+\sqrt k} \leq x^k \end{eqnarray*}$ hilft mir auch nicht weiter.

Sorry, da war ich unkonzentriert. Hammer

Also für 0 <= x < 1 ist $\begin{eqnarray*} \frac{x^k}{x^k+\sqrt k} \leq x^k \end{eqnarray*}$ und damit hat man eine konvergente Majorante.

Für -1 < x < 0 geht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^k + \sqrt k} \end{eqnarray*}$ gegen Null und damit ist $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{x^k + \sqrt k}| < \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ , für genügend großes k. Somit ist $\begin{eqnarray*} |\frac{x^k}{x^k + \sqrt k}| < \frac 1 2 |x^k| \end{eqnarray*}$ und es folgt die absolute Konvergenz. smile

06.12.2017, 09:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es vielleicht hier aus den o.g. Gründen nicht nötig ist, hier eine Betrachtung zum Fall $\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ mit aus Definitionsgründen veränderten Anfangsindex:

Es bezeichne $\begin{align*} s_n := \sum_{k=3}^n \frac{(-1)^k}{(-1)^k+\sqrt{k}} \end{align*}$ die Partialsumme der Reihe, wenn sie mit Index 3 anfängt. Dann ist

$\begin{align*} -s_{2m} = \sum_{j=2}^m \left( \frac{1}{\sqrt{2j-1}-1} - \frac{1}{\sqrt{2j}+1} \right) \geq \sum_{j=2}^m \left( \frac{1}{\sqrt{2j}-1} - \frac{1}{\sqrt{2j}+1} \right) = \sum_{j=2}^m \frac{2}{2j-1} \to \infty \end{align*}$ für $\begin{align*} m\to\infty \end{align*}$

(harmonische Reihe!). Das impliziert die bestimmte Divergenz $\begin{align*} \sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(-1)^k+\sqrt{k}} = -\infty \end{align*}$ , und in der Folge dann auch $\begin{align*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(-1)^k+\sqrt{k}} = -\infty \end{align*}$ .

07.12.2017, 10:19

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärungen Gott

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz Reihe, Fallunterscheidung

Verwandte Themen