Ungleichung zeigen

04.12.2017, 17:33

Snexx_Math

Ungleichung zeigen

Hallo zusammen,

ich bräuchte mal Hilfe beim Zeigen einer Ungleichung:

Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{m})^{m} \geq 1 + \sum\limits_{k=1}^{n} \prod_{i=0}^{k-1} (1- \frac{i}{m})\cdot \frac{1}{k!} & m \geq n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Habe $\begin{eqnarray*} 1 + \sum\limits_{k=1}^{n} \prod_{i=0}^{k-1} (1- \frac{i}{m})\cdot \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ so umgeformt, dass nun :
$\begin{eqnarray*} 1+ \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ steht.

Weiß aber nicht wie ich jetzt noch zeige, dass:

$\begin{eqnarray*} 1+ \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \leq (1+\frac{1}{m})^{m} \end{eqnarray*}$

Danke für jeden heißen Tipp smile

LG

Snexx_Math

04.12.2017, 18:36

HAL 9000

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Soweit ich das sehe, ist das schlicht eine Abschätzung über den Binomischen Satz: Gemäß dem gilt

$\begin{align*} \left(1+\frac{1}{m}\right)^m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \frac{1}{m^k} \geq \sum_{k=0}^n \binom{m}{k} \frac{1}{m^k} \end{align*}$ ,

letzteres wegen $\begin{align*} n\leq m \end{align*}$ . Bleibt als fehlendes Glied nur nur noch die Umformung

$\begin{align*} \binom{m}{k} = \frac{m(m-1)\cdot\ldots \cdot (m-k+1)}{k!} = \frac{m^k}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} \left(1-\frac{i}{m}\right) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Snexx_Math
Weiß aber nicht wie ich jetzt noch zeige, dass:

$\begin{eqnarray*} 1+\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \leq (1+\frac{1}{m})^{m} \end{eqnarray*}$

Das kann man gar nicht zeigen, weil es i.a. falsch ist: Für alle (!) $\begin{align*} m=n\geq 2 \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} > (1+\frac{1}{m})^{m} \end{align*}$ .

04.12.2017, 18:50

Snexx_Math

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Ich kann die letze Umformung von : $\begin{eqnarray*} \frac{m(m-1)\cdot ... \cdot (m-k+1)}{k!} = \frac{m^{k}}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} (1- \frac{i}{m}) \end{eqnarray*}$

nicht nachvollziehen. Wie kommt man auf den Faktor vor dem Produktzeichen ? Bzw. genauer auf das $\begin{eqnarray*} m^{k} \end{eqnarray*}$ im Zähler.

Eine kleine Aufbröslung wäre echt mega nett.

LG

Snexx_Math

04.12.2017, 19:10

HAL 9000

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Man zieht aus jedem der $\begin{align*} k \end{align*}$ Faktoren im Zähler den Faktor $\begin{align*} m \end{align*}$ heraus:

$\begin{align*} m &= m\cdot 1 = m\cdot \left(1-\frac{0}{m}\right)<br /> m-1 &= m\cdot \left(1-\frac{1}{m}\right)<br /> m-2 &= m\cdot \left(1-\frac{2}{m}\right)<br /> \ldots<br /> m-k+1 &= m\cdot \left(1-\frac{k-1}{m}\right) \end{align*}$

04.12.2017, 19:27

Snexx_Math

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Ahh Erleuchtung ! smile

Also ersetze ich dann jetzt den Binomialkoeffizienten durch den herausgefundenen Ausdruck dann kürzt sich $\begin{eqnarray*} m^{k} \end{eqnarray*}$ und ich kann die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ ganz nach rechts also hinters Produktzeichen ziehen , so dass folgendes steht:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{m})^{m} = ... \geq...= 1 + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} (1- \frac{i}{m}) = 1 + \sum\limits_{k=1}^{n} \prod_{i=0}^{k-1} (1- \frac{i}{m})\cdot \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Vielen lieben Dank. Ich schau dann mal morgen wie ich es selber nochmal aufschreibe.

LG

Snexx_Math

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