Grenzwert von Reihen bestimmen

04.12.2017, 18:49

Fragewurm

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Grenzwert von Reihen bestimmen

Hallo,

bei folgenden Reihen soll der Wert angegeben werden sowie eine Begründung, weshalb sie konvergieren.

2) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2^{3n} }{3^{2n} } } \end{eqnarray*}$

In diesem Fall finde ich keinen geeigneten Weg die Reihe so umzuformen, dass die Form einer geometrischen Reihe entsteht. Meine Idee war, die Exponenten im Nenner auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu bringen, aber da man hier offenbar keine Potenzgesetze anwenden kann, sehe ich nicht, wie man sonst vorgehen soll.

3) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)(n+2)} } \end{eqnarray*}$

Da es eine Teleskopreihe ist, habe ich versucht die Reihe zu zerlegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)} - \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Dies erscheint mir jedoch falsch. Wie kann man dies optimal machen?

4) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)^2} } = \frac{3}{4} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

Der Wert der Reihe ist bereits angegeben, aber mir erschließt sich nicht, wie man zu diesem Ergebnis gelangt. Klammer auflösen hat nichts gebracht. Welcher Weg ist hierfür geeignet?

Gruß

04.12.2017, 18:59

mYthos

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RE: Grenzwert von Reihen bestimmen
1) Kein Einwand, es sind unendliche geometrische Reihen.

2) $\begin{eqnarray*} \frac{2^{3n}}{3^{2n}} = \left(\frac 8 9 \right)^n \end{eqnarray*}$

mY+

04.12.2017, 19:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fragewurm
Da es eine Teleskopreihe ist, habe ich versucht die Reihe zu zerlegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)} - \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Glänzende Idee. Aber kontrolliere doch mal, was bei dieser Differenz wirklich herauskommt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.12.2017, 19:56

Matt Eagle

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RE: Grenzwert von Reihen bestimmen
Bei 4.) wäre zu investieren, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$

Diese Reihe kannst Du nun in zwei Reihen zerlegen indem Du jeweils nur die Summanden für gerade bzw. ungerade n aufsummierst und dann steht's schon fast da.

05.12.2017, 16:24

Fragewurm

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Danke für die Hinweise.

Bei der 2) habe ich den Index angepasst, um die Formel verwenden zu können und erhalte $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ als Wert der Reihe, die ja konvergiert, weil $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Fragewurm
Da es eine Teleskopreihe ist, habe ich versucht die Reihe zu zerlegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-1)} - \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Glänzende Idee. Aber kontrolliere doch mal, was bei dieser Differenz wirklich herauskommt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tatsächlich kommt doch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{(n-1)n(n+1)} \end{eqnarray*}$ raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zerlegt müsste es ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{n(n+2)} \end{eqnarray*}$ ergeben, wobei die Summanden sich hier nicht aufheben: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{12} - \frac{1}{15}+ ... \end{eqnarray*}$

Die Form der Teleskopreihe existiert ja, aber wie kann man es lösen, wenn sich die einzelnen Summanden nicht aufheben?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$

Für ungerade n ist diese Reihe mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)^2} } \end{eqnarray*}$ identisch.

Die Summe der geraden n müsste doch von der $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)^2} } \end{eqnarray*}$ abgezogen werden.

Daher habe ich versucht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{36} + ... \end{eqnarray*}$ als Reihe aufzufassen, aber erhalte keine geeignete Lösung.

05.12.2017, 18:08

Matt Eagle

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Ich präzisiere meinen Hinweis mal etwas:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n)^2} \end{eqnarray*}$

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05.12.2017, 19:33

Matt Eagle

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Für die Teleskopstruktur solltest die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} \frac 2{n(n+1)(n+2)}=\frac 1{n(n+1)}-\frac 1{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

betrachten.

06.12.2017, 14:47

LIMESWARRIOR3000

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Hey, zur Aufgabe c) mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

durch ein wenig umformen komme ich nun auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+4} \end{eqnarray*}$

ich weiß jetzt allerdings nicht, wie ich weiter verfahren soll, da ich die Reihe in keine geeignete Form bringen kann, um den Satz für geometrische Reihen anwenden zu können. verwirrt

verwirrt

Durch den "Teleskoptrick" weiß ich einfach nicht, wie der Wert dieser Reihe sich berechnen lässt.

P.s. Für a) und b) habe ich identische Lösungen.

06.12.2017, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von LIMESWARRIOR3000
durch ein wenig umformen komme ich nun auf $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n+4} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2k+4} \end{eqnarray*}$ bzw. besser $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2k} - \frac{2}{2k+2} + \frac{1}{2k+4} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von LIMESWARRIOR3000
da ich die Reihe in keine geeignete Form bringen kann, um den Satz für geometrische Reihen anwenden zu können. verwirrt

verwirrt

Es handelt sich um keine geometrische Reihe handelt und sie läßt sich auch nicht in eine umformen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von LIMESWARRIOR3000
Durch den "Teleskoptrick" weiß ich einfach nicht, wie der Wert dieser Reihe sich berechnen lässt.

Schreibe doch mal die ersten Summanden der Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2k} - \frac{2}{2k+2} + \frac{1}{2k+4} \end{eqnarray*}$ hin.

(Bitte dabei keine Summanden zusammenfassen.)

06.12.2017, 15:20

Grph v Mnt Chr

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Hallo,

Bei K=1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}; -\frac{1}{2} ; \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

K=2

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}; -\frac{1}{3} ; \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

k=3

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}; -\frac{3}{8} ; \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

06.12.2017, 15:55

Matt Eagle

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Was is das denn jetzt fürn Kokolores?

Ich hatte doch eine recht suggestive Teleskopstruktur schon explizit hingeschrieben.

Wenn's sein muss kannst Du natürlich auch mit

$\begin{eqnarray*} \frac 1{k(k+1)(k+2)}=\frac 1{2k}-\frac 2{k2+2}+\frac 1{2k+4}=\underbrace{\left(\frac 1{2k}-\frac 1{k2+2}\right)}_{=:a_k}-\underbrace{\left(\frac 1{2k+2}-\frac 1{2k+4}\right)}_{=a_{k+1}} \end{eqnarray*}$

arbeiten.

Um die Teleskopeigenschaft besser einsehen zu können setze:

$\begin{eqnarray*} a_k:=\left(\frac 1{2k}-\frac 1{2k+2}\right). \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k+1})=a_1-a_2+a_2-a_3+\ldots+a_n-a_{n+1}=a_1-a_{n+1}. \end{eqnarray*}$

06.12.2017, 15:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matt Eagle
Was is das denn jetzt fürn Kokolores?

Ich hatte doch eine recht suggestive Teleskopstruktur schon explizit hingeschrieben.

Da kann ich Matt Eagle nur beipflichten: Warum einfach, wenn's komplizierter geht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2017, 16:03

klarsoweit

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Ist das jetzt auf mich gemünzt? Wenn ja, vergeßt einfach, was ich geschrieben habe. (Vielleicht hilft es LIMESWARRIOR3000 ja trotzdem.)

06.12.2017, 16:18

HAL 9000

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Nein, nicht auf dich, sondern direkt auf LIMESWARRIOR3000: Denn nach Matt Eagles Hinweis $\begin{align*} \frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{align*}$ ergibt sich mit Division durch 2 ja unmittelbar die Teleskopstruktur

$\begin{align*} \sum_{n=1}^m \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \end{align*}$ .

06.12.2017, 19:27

Mathema

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Zitat:

Warum einfach, wenn's komplizierter geht?

Nun gut - dann gleich eine Verallgemeinerung:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \sum\limits_{k\geq 1} \frac{1}{k(k+1)\cdot...\cdot (k+N)} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich berechnen als:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \sum\limits_{k\geq 1} \frac{1}{k(k+1)\cdot...\cdot(k+N)}=\sum\limits_{k\geq 1}\frac{(k-1)!}{(k+N)!}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{k\geq 1}\frac{\Gamma(k)\Gamma(N+1)}{\Gamma(k+N+1)}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{k\geq 1} \beta(k,N+1) \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{1}{N!}\sum\limits_{k\geq 1} \int_0^1 x^{k-1}(1-x)^{N+1-1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\displaystyle \frac{1}{N!} \int_0^1 \left(\sum\limits_{k\geq 1}x^{k-1}\right) (1-x)^{N} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\displaystyle \frac{1}{N!} \int_0^1 (1-x)^{N-1} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\displaystyle \frac{1}{N\cdot N!} \end{eqnarray*}$

Der Reihenwert hier berechnet sich also lediglich als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\cdot 2!}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

06.12.2017, 19:47

HAL 9000

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@Mathema

Übrigens, was verwandtes war kürzlich hier angefragt.

07.12.2017, 10:38

LIMESWARRIOR3000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nein, nicht auf dich, sondern direkt auf LIMESWARRIOR3000: Denn nach Matt Eagles Hinweis $\begin{align*} \frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{align*}$ ergibt sich mit Division durch 2 ja unmittelbar die Teleskopstruktur

$\begin{align*} \sum_{n=1}^m \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \end{align*}$ .

Ich habe die Vorgehensweise einfach nicht verstanden. Wieso kann ich da z.B durch 2 dividieren?
Den Schritt verstehe ich nicht. Die Struktur habe ich jetzt verstanden. Ich wollte mir die Reihe lediglich etwas "umbauen".

07.12.2017, 10:52

klarsoweit

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RE: Grenzwert von Reihen bestimmen
Nun ja, du willst ja diese Reihe berechnen: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ ist, dann hast du links das doppelte von dem Summanden in deiner Reihe. Also mußt du noch die Summe davon halbieren oder du dividierst vorher durch 2 und nutzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{0,5}{n(n+1)} - \frac{0,5}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$
smile

smile

07.12.2017, 11:18

LIMESWARRIOR3000

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RE: Grenzwert von Reihen bestimmen

Zitat:

Original von klarsoweit
Nun ja, du willst ja diese Reihe berechnen: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ ist, dann hast du links das doppelte von dem Summanden in deiner Reihe.

Genau das steht auch als Hinweis in der Aufgabe. Es erschien mir dann aber zu einfach, lediglich durch 2 dividieren zu müssen. Hammer

Hammer

Big Laugh

Zitat:

Original von klarsoweit
Also mußt du noch die Summe davon halbieren oder du dividierst vorher durch 2 und nutzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{0,5}{n(n+1)} - \frac{0,5}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank. Dem kann ich jetzt wieder folgen Freude

Freude

07.12.2017, 12:14

LIMESWARRIOR3000

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4) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)^2} } = \frac{3}{4} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Matt Eagle
Ich präzisiere meinen Hinweis mal etwas:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n)^2} \end{eqnarray*}$

Nach deinem Hinweis könnte man die Reihe doch dann eigentlich auch so formulieren, oder?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{3}{4}\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

wie könnte man daraus jetzt noch eine zweite Reihe bilden, die dann den Wert 3/4 annimmt? Meine Umformungen bringen mich nicht weiter..

07.12.2017, 12:40

klarsoweit

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Mit dem Hinweis von Matt Eagle ist offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n-1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} - \sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} - \sum_{n=1}^\infty \frac 1{4n^2} \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft das. smile

smile

07.12.2017, 16:05

Fragewurm

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Die Summanden in der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n-1)^2} \end{eqnarray*}$ heben sich ja alle auf, außer die, die auch in der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)^2} } \end{eqnarray*}$ vorkommen.

Jedoch erhalte ich bei der Teleskopreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} - \sum_{n=1}^\infty \frac 1{4n^2} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ .

07.12.2017, 16:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fragewurm
Jedoch erhalte ich bei der Teleskopreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} - \sum_{n=1}^\infty \frac 1{4n^2} \end{eqnarray*}$

Was ist denn daran bitte eine Teleskopreihe? Nur weil du den Begriff einmal gehört hast musst du nicht gleich denken, der wäre immer und überall sinnvoll anwendbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.12.2017, 17:01

Fragewurm

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Alles klar, ich war schon verwundert. Freude

Freude

Dachte zunächst man könnte es mit der Summenregel so $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty( \frac 1{n^2} - \frac{1}{4n^2} ) \end{eqnarray*}$ zusammenfassen. Sah von der Form ähnlich aus. Wüsste nicht, wie man es sonst machen kann. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{4n^2} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ , aber das bringt in dem Fall wenig.

07.12.2017, 17:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fragewurm
Dachte zunächst man könnte es mit der Summenregel so $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty( \frac 1{n^2} - \frac{1}{4n^2} ) \end{eqnarray*}$ zusammenfassen.

Das kann man ja auch, aber das ist die normale Rechenregel für Summe/Differenz konvergenter Reihen und hat nichts mit "Teleskopsumme" zu tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.12.2017, 18:02

klarsoweit

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Jetzt habe ich schon alles mundgerecht aufbereitet:

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n-1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} - \sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} - \sum_{n=1}^\infty \frac 1{4n^2} \end{eqnarray*}$

daß man nur noch den Reihenwert einsetzen muß, und es funktioniert noch immer nicht. unglücklich

unglücklich

07.12.2017, 19:10

Fragewurm

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Ist es nicht so, dass nur $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ bekannt ist? Der Wert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{4n^2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ , aber wie ermittelt man den? $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{4n^2} \end{eqnarray*}$ lässt sich nicht als geometrische Reihe oder Teleskopreihe schreiben.

07.12.2017, 20:40

Matt Eagle

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$\begin{eqnarray*} \frac 1{4n^2}=\frac 14\cdot\frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 14 \end{eqnarray*}$ ist also in jedem Summanden enthalten.

Kennst Du das Distributivgesetz?

07.12.2017, 20:49

Fragewurm

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Das war mir klar, war mir aber nicht sicher, ob das so ausreicht.

Also ist für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{(2n-1)^2} \end{eqnarray*}$ und demnach auch für $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)^2} } \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ . Danke! Freude

Freude

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