Parallelverschiebung - Formel?

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JulesHH Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelverschiebung - Formel?
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ein Freund von mir steht vor einem Problem innerhalb einer geometrischen Figur eine Parallelverschiebung durchzuführen. Er sagte mir es ginge ihm um die Berechnung von Zuschnittmaßen.

Ich hatte ihm gesagt, dass ich helfen kann, komme bei den Formeln jedoch nicht weiter. Ich bin mir sicher, dass ich zwei von drei Formeln habe. Auf die letzte will ich jedoch partout nicht kommen und bitte daher um Hilfe.

Das Problem ist wie in den Skizzen zu sehen anbei, von einer geometrischen Form gehe ich jeweils 1cm um die Form herum.

Rein zeichnerisch lässt sich c' sehr gut ermitteln, ich komme jedoch auf keine Formel.

Meine Ideen:
Ein Beispiel:

a = 54
b = 20
c = 80

Folgende Formeln habe ich für
a' = a + 2 (jeweils 1cm links und rechts)
b' = b + 1 (1cm Zugabe)
c' = ?

Vielen Dank für eine Hilfe!


Ich komme jedoch nicht auf die Formel. Anbei auch eine Skizze.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Lege ein Koordinatensystem so, dass der linke untere Eckpunkt der ursprünglichen Figur in den Nullpunkt fällt.
Dann haben die oberen zwei Eckpunkte die Koordinaten (0; 80) und (54; 20), allgemein (0; c) und (a; b).
Die Gleichung deren Verbindungsgeraden ist zu bestimmen.

Danach legst du eine Parallele durch den Punkt (55; 21), allg. (a+1; b+1) und bestimmst auch deren Gleichung. EDIT: Schreibfehler berichtigt.

Diese Parallele ist letztendlich mit der zur y-Achse parallelen Geraden x = -1 zu schneiden, der y-Wert des Schnittpunktes ist die gesuchte Länge c'

Ich werde später, wenn es meine Zeit erlaubt, eine GeoGebra-Grafik hinzufügen, bin jetzt gerade unterwegs.

mY+
JulesHH Auf diesen Beitrag antworten »

Hey smile

Danke für deine Antwort!
Die Lösung rein zeichnerisch zu bestimmen ist kein Problem.

Ich komme aber ehrlich gesagt nicht auf die gesuchte Formel.

Viele Grüße!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich muss etwas editieren, so funktioniert es nicht.
EDIT ist erfolgt, es funkt eh, nur verschrieben. Bitte nochmals dort nachsehen (nicht zu Hause mit dem Handy zu schreiben ist nicht das Wahre).
---------
Inwiefern unterscheidet sich deine 2. Skizze von der ersten? Es bezeichnet doch das gleiche Problem (?)

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab' das mal für die speziellen Zahlen in der Angabe gemacht.
Kannst du dies mal nachvollziehen?

EDIT: Grafik berichtigt, sh. bitte weiter unten.

Natürlich kann man das jetzt auch für a, b, c, a'=a+2, b'=b+1 verallgemeinen.
--------
Zur Geradengleichung durch zwei Punkte (x1; y1) und (x2; y2): Diese lautet

y - y1 = k(x - x1), wobei k die Steigung ist: k = (y2 - y1)/(x2 - x1)

mY+
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Mal zu den Voraussetzungen: Ich habe es so verstanden, dass in Normalenrichtung 1cm parallel verschoben wird.

a'=a+2 das passt

Ich hab mir durch Einzeichnen von mehreren Dreiecken folgende Formeln hergeleitet:

Mit bezeichne ich den spitzen Winkel links oben, der also von c und der unbenannten Seite eingeschlossen wird.

Es gilt





Du brauchst ja eh nur die Formeln und keine Erklärung dazu oder?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kegorus
...

...

Das widerspricht allerdings der Voraussetzung, dass b um 1 zu verlängern ist, b' = b + 1

mY+
JulesHH Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch!

Und sorry, b um 1 zu verlängern ist falsch gewesen. Es muss sich natürlich um denselben Betrag wie c verlängern, damit alles Sinn macht.

Und ja, im Prinzip brauche ich nur die Formeln, auch wenn mich die mathematischen Hintergründe doch sehr interessieren.

Falls ihr also nochmal Zeit habt..

So oder so: Vielen lieben Dank!!
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Das widerspricht allerdings der Voraussetzung, dass b um 1 zu verlängern ist, b' = b + 1



Alles was hier passiert ist doch eine Parallelverschiebung der Seiten in Richtung der Normalen um je 1cm.
b'=b+1 stimmt ja nicht, es kommt unten 1 cm dazu, aber "oben" noch ein kleines Stückchen. Und ich hab mir überlegt, wie lang dieses Stückchen ist, und es ist rausgekommen..

Zitat:
Original von JulesHH

Es muss sich natürlich um denselben Betrag wie c verlängern, damit alles Sinn macht.



c und b verlängern sich nicht um den gleichen Wert, schau dir das Bild mal genau an. Bei c kommt mehr dazu als bei b..

Ich hab mir die Ecken vergrößert aufgezeichnet und ein paar Dreiecke eingezeichnet und die jeweiligen Winkel und Seiten benannt und dann einfach mit und so mir die Längen ausgerechnet, die wir wissen wollen. Die Formeln stimmen übringens nur für Formen wie in deinem Bild, wenn also zb b länger als c ist passts nicht mehr..
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich hatte vergessen, a' auch unten um 1cm herunterzuziehen, hier die Grafik nochmals, dahingehend berichtigt.

[attach]45941[/attach]

Zitat:
Original von Kegorus
...
b'=b+1 stimmt ja nicht, es kommt unten 1 cm dazu, aber "oben" noch ein kleines Stückchen. Und ich hab mir überlegt, wie lang dieses Stückchen ist, und es ist rausgekommen..
...

Das kann ich nicht nachvollziehen, weshalb gerade alpha/2 ?
-------
Es geht jetzt noch letztendlich um den Abstand der beiden parallelen Geraden s_d und s_d'.
Dieser muss nach Aufgabenstellung auch 1 sein. In meiner Grafik ist er nochetwas größer, die Gerade s_d' ist daher entsprechend zu verschieben.
Analytik: Die Gleichung der Parallelen im Abstand 1 ist mittels der HNF (Hesse'schen Normalform) der Geradengleichung zu erstellen. Danach die Schnittpunkte mit den Senkrechten.

mY+
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