DGL Anfangswert

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jack3 Auf diesen Beitrag antworten »
DGL Anfangswert
Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme
(a) y´´´- y´´-y´+ y = x^2

mit y(0) =y´(0) = y´´(0) =0

Wie gehe ich hier genau vor?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo jack3,

da hast du mannigfache Möglichkeiten. Matrixexponential, Laplace-Transformation, und und und...

Die gängigste Möglichkeit wäre, in einem ersten Schritt zunächst die homogene Gleichung zu betrachten (das bedeutet, x^2 rechts kommt weg und statt dessen kommt da eine 0 hin), und dann einen Ansatz zu wählen. Wenn man das einsetzt, die Ableitungen ausführt und dann die e-Funktion wieder herausdividiert, erhält man eine Gleichung dritten Grades, bei der man eine Nullstelle locker errät, mit Horner-Schema oder Polynomdivision auf zweiten Grades reduziert und den Rest mit der pq-Formel erledigt. Du bekommst dann drei Basislösungen, je nachdem, welche Nullstellen herauskommen und mit welcher Vielfachheit. Davon schon mal gehört?

In einem zweiten Schritt versucht man nun, irgendeine Funktion y_p (das p steht für "partikuläre Lösung") zu bestimmen, so dass tatsächlich x^2 rauskommt (und nicht 0). Dafür wäre der übliche Ansatz etwas wie



(auf der rechten Seite steht ein Polynom zweiten Grades und man versucht nun, diese Form der Lösung zu 'imitieren').

Grüße
sibelius84
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein ähnliches Beispiel gab es dort.

mY+
jack3 Auf diesen Beitrag antworten »

Suchen Sie spezielle Lösungen der inhomogenen Gleichung in der Form (a) yp
(x) = a + bx + cx^2

Das war noch der gegebene Hinweis.

Ansatz:



Nullstelle lambda =1





+-1 = lambda2/3

Wie geht es weiter?
jack3 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jack3
Suchen Sie spezielle Lösungen der inhomogenen Gleichung in der Form (a) yp
(x) = a + bx + cx^2

Das war noch der gegebene Hinweis.

Ansatz:



Nullstelle lambda =1





+-1 = lambda2/3

Wie geht es weiter?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast damit jetzt die Basislösungen e^t und e^(-t) gewonnen. Nun ist ja lambda=1 doppelte Nullstelle. Weißt du, wie du daraus deine dritte Basislösung gewinnen kannst?

Danach käme die Geschichte, wie von mir und als Tipp auf deinem ÜB angegeben, ein quadratisches Polynom in die DGL einzusetzen und a,b,c so zu bestimmen, dass man eine spezielle Lösung erhält.

Danach müsste man sich noch die allgemeine (inhomogene) Lösung aufschreiben und die darin enthaltenen Parameter so anpassen, dass das gegebene Anfangswertproblem gelöst wird (Einsetzen und Auflösen / Gleichungssystem).
 
 
jack3 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar danke
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