Dreiecksgleichung bei Normeigenschaften

06.12.2017, 21:45	lroel	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksgleichung bei Normeigenschaften Meine Frage: Meine Aufgabe ist, die Abbildung $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|:= (\| x_{1}\| + \|x_{2}\|^{2} + \|x_{3}\|^3)^{\frac{1}{6} } \end{eqnarray}$ auf die Normeigenschaften zu untersuchen. Die ersten beiden habe ich soweit geschafft, aber ich hänge bei der dritten fest, schaffe es also nicht, zu beweisen, dass $\begin{eqnarray} \|\|v+x\|\|\leq \|\|v\|\|+\|\|x\|\| \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Zuerst hab ich mal die beiden Seiten der Ungleichung, die zu beweisen ist, eingesetzt: $\begin{eqnarray} (\|x_{1}+v_{1}\|+\|x_{2}+v_{2}\|^{2}+\|x_{3}+v_{3}\|^{3})^\frac{1}{6} \leq (\|x_{1}\|+\|x_{2}\|^{2}+\|x_{3}\|^{3})^{\frac{1}{6} }+(\|v_{1}\|+\|v_{2}\|^{2}+\|v_{3}\|^{3})^{\frac{1}{6}} \end{eqnarray}$ Das ist dann eigentlich auch schon alles, was ich hab. Ich hab den linken Teil auch ausmultipliziert, sodass ich keine Exponenten mehr hab, aber das ist auch nicht wirklich erhellend (mal davon abgesehen, dass ich bei dem ^2 und ^3 nicht mit den Betragsstrichen umzugehen weiß)... $\begin{eqnarray} (\|x_{1}+v_{1}\|+x_{2}^{2}+2x_{2}v_{2}+v_{2}^{2}+\|x_{3}\|^{3}+2x_{3}^{2}v_{3}+2x_{3}v_{3}^{2}+\|v_{3}\|^{3})^\frac{1}{6} \leq (\|x_{1}\|+\|x_{2}\|^{2}+\|x_{3}\|^{3})^{\frac{1}{6} }+(\|v_{1}\|+\|v_{2}\|^{2}+\|v_{3}\|^{3})^{\frac{1}{6}} \end{eqnarray}$ Ich habe zwar alle Komponenten der rechten Seite auch irgendwo auf meiner linken Seite stehen, aber das hilft mir auch nicht weiter, weil ich ja $\begin{eqnarray} 2x_{2}v_{2}+2x_{3}^{2}v_{3}+2x_{3}v_{3}^{2} \end{eqnarray}$ nicht auf der rechten Seite stehen habe, d.h. ich kann auch nicht damit argumentieren, dass $\begin{eqnarray} (a+b)^{\frac{1}{6}} \leq a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}} \end{eqnarray}$
06.12.2017, 22:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksgleichung bei Normeigenschaften Wie hast du denn die Homogenität gezeigt?
06.12.2017, 23:12	lroel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksgleichung bei Normeigenschaften Bei der Homogenität hab ich gezeigt, dass die nicht gilt, da $\begin{eqnarray} \|\|ax\|\|=(\|ax_{1}\|+\|ax_{2}\|^{2}+\|ax_{3}\|^{3})^\frac{1}{6}\neq \|a\|(\|x_{1}\|+\|x_{2}\|^{2}+\|x_{3}\|^{3})^\frac{1}{6}= \|a\|\|\|x\|\| \end{eqnarray}$ für a als reelle Zahl. Da hab ich dann auch noch ein Beispiel genannt.
06.12.2017, 23:21	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksgleichung bei Normeigenschaften Hi, die Ungleichung $\begin{eqnarray} (\|x_{1}+v_{1}\|+\|x_{2}+v_{2}\|^{2}+\|x_{3}+v_{3}\|^{3})^\frac{1}{6} \leq (\|x_{1}\|+\|x_{2}\|^{2}+\|x_{3}\|^{3})^{\frac{1}{6} }+(\|v_{1}\|+\|v_{2}\|^{2}+\|v_{3}\|^{3})^{\frac{1}{6}} \end{eqnarray}$ würde ich knallhart auf beiden Seiten mit 6 potenzieren. Auf der linken Seite fliegt die 6. Wurzel dann weg und den Rest, der dann da noch steht, kannst du mit Hilfe entsprechender Teile von der rechten Seite und der gewöhnlichen Dreiecksungleichung erledigen. Dann bleibt letztlich zu zeigen, dass eine Summe von nichtnegativen Summanden größergleich Null ist, was sicher wahr ist. LG sibelius84
07.12.2017, 20:06	lroel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreiecksgleichung bei Normeigenschaften Danke erstmal für den Tipp - ich hab jetzt aber immer noch das Problem, dass ich links noch $\begin{eqnarray} \|x_{1}+v_{1}\|+\|x_{2}+v_{2}\|^{2}+\|x_{3}+v_{3}\|^{3} \end{eqnarray}$ stehen habe und zwar das $\begin{eqnarray} \|x_{1}+v_{1}\| \end{eqnarray}$ easy mit dem $\begin{eqnarray} \|x_{1}\| \end{eqnarray}$ und dem $\begin{eqnarray} \|v_{1}\| \end{eqnarray}$ auf der rechten Seite wegbekomme, aber bei $\begin{eqnarray} \|x_{2}+v_{2}\|^{2}+\|x_{3}+v_{3}\|^{3} \end{eqnarray}$ nicht wirklich weiß, wie ich die wegkriege, da ich entsprechende Produkte auf der rechten Seite nicht bilde, weil ja fast alles auf der rechten Seite eine Wurzel hat...
07.12.2017, 21:09	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Hilfsmittel hast du denn zur Verfügung? Hast du gerade erst angefangen mit Ana 2 / 3, oder FunkAna? Ich denke, man muss hier irgendetwas mit konvexen / konkaven Funktionen, bzw. konvexen Mengen machen. Da gibt es bei Normen einen recht schönen Satz, der aber leider die Homogenität braucht. Mit elementarem Rechnen könnte das ganz schön anstrengend werden. $\begin{eqnarray} \lvert x_2+v_2\rvert^2 = \lvert x_2^2 + 2x_2v_2 + v_2^2 \rvert \leq \lvert x_2^2 \rvert + 2\lvert x_2v_2\rvert + \lvert v_2^2 \rvert \end{eqnarray}$ . Also kannst du die $\begin{eqnarray} x_2^2,v_2^2 \end{eqnarray}$ links und rechts wegstreichen und links bleibt nur noch $\begin{eqnarray} 2\lvert x_2v_2 \rvert \end{eqnarray}$ übrig. Nach analogem Muster kannst du bei der dritten Potenz als einziges noch ein $\begin{eqnarray} 3\lvert x_2^2v_2 + 3x_2v_2^2 \rvert \end{eqnarray}$ übrig behalten. Das würde ich mir als Ziel im Hinterkopf behalten und mir dann die rechte Seite (mit den vielen Wurzeln) vorknöpfen, um sie nach unten abzuschätzen und die gerade übrig behaltenen Ausdrücke herauszubekommen. Neben Wurzeln kommen ja praktischerweise immerhin sehr viele Beträge vor, so dass du alles, wo x_1 als Summand auftaucht, direkt weglassen kannst beim Abschätzen. Dann Potenzgesetze anwenden. Sehr anstrengend und man braucht langen Atem, aber sollte eigentlich hinhauen.
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07.12.2017, 21:33	lroel	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ich mich erinnere, hatten wir zu konvexen oder konkaven Funktionen nichts und nach unten abschätzen ist auch nicht meine Stärke... Ich werd das jetzt einfach so weit hinschreiben, wie ich gekommen bin und mich dann nächste Woche ärgern, wenn der Prof eine total einfache Lösung präsentiert. Danke dir jedenfalls für deine Hilfe!

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