Zeigen, dass g stetig auf ganz R ist

09.12.2017, 11:56	Info24	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass g stetig auf ganz R ist Meine Frage: Hey, meine Aufgabe ist folgende: Es sei g: R -> R, x -> xsin(1/x) für x ungleich 0 0 für x = 0 und ich soll zeigen, dass g stetig auf ganz R ist. Meine Ideen:* Ich habe mir überlegt, erstmal mit dem Folgekriterium die Stetigkeit an der Stelle 0 zu beweisen. Reicht das schon, oder muss ich mit dem recht bzw. linksseitigen Grenzwert arbeiten, da ich sonst nur die Stetigkeit von einer Seite zeige? Und bei x*sin(1/x) für x ungleich 0, bin ich mir ganz unsicher wie ich da vorgehen soll. Danke schon mal im Voraus
09.12.2017, 14:06	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine beliebige Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ nimmst mit $\begin{eqnarray} x_n\to 0 \end{eqnarray}$ , dann kann diese Folge sich von beiden Seiten an 0 annähern. Wenn du also zeigst, dass $\begin{eqnarray} g(x_n)\to 0 \end{eqnarray}$ , hättest du damit die Stetigkeit in 0 bewiesen. Für die anderen Stellen: Kennst du irgendwelche Sätze über Summen/Produkte/Verkettungen etc. stetiger Funktionen?
09.12.2017, 17:14	Info24	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiß nach Sätzen, dass x stetig ist und sin. Außerdem weiß ich, dass wenn zwei Funktionen stetig sind auch f*g stetig ist. Allerdings weiß ich noch nicht wie ich sagen kann, dass sin(1/x) stetig ist. Ansonsten könnte ich das ja ziemlich einfach beweisen. Danke für deine Antwort
09.12.2017, 18:42	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn mit der Verkettung stetiger Funktionen? Habt ihr dazu auch schon etwas bewiesen?
10.12.2017, 16:18	Info24	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben einen Satz der besagt, dass die Verkettung zwei stetiger Funktionen an einem bestimmten Punkt x stetig ist, aber das reicht ja nicht, weil ich ja die insgesamte Stetigkeit zeigen soll, oder?
10.12.2017, 23:37	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\mapsto \frac 1x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\mapsto \sin(x) \end{eqnarray}$ sind außerhalb von 0 stetige Funktionen; also ist auch die Verkettung $\begin{eqnarray} x\mapsto \sin(\frac 1x) \end{eqnarray}$ außerhalb von 0 stetig.
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