Verteilungsfunktion auf R bestimmen

09.12.2017, 14:20

forbin

Verteilungsfunktion auf R bestimmen

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe vor mir:

Zitat:

Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F der folgenden Verteilungen auf R als geschlossene Formel.

a) Die Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} \frak{B}_{3,\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Nun, die BV ist ja eine diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Also würde ich die Verteilungsfunktion bilden als: $\begin{eqnarray*} F(x) = \sum_{k=0, k\in\mathbb N}^{3}\begin{pmatrix}3 \\ k\end{pmatrix} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{3} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?

09.12.2017, 14:24

10001000Nick1

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Das kann schon allein deswegen nicht stimmen, weil auf der rechten Seite gar kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auftaucht.

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} F(x):=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ . Tipp: Unterscheide die fünf Fälle $\begin{eqnarray*} x<0, 0\leq x<1, 1\leq x<2, 2\leq x<3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq 3 \end{eqnarray*}$ .

09.12.2017, 15:10

forbin

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Hmmm..

$\begin{eqnarray*} P(X<0) = 0 \end{eqnarray*}$ , denn die Wahrscheinlichkeit, das ich von 3 Münzwürfen weniger als null mal Kopf bzw. Zahl erhalte, ist null.
$\begin{eqnarray*} P(0\leq x < 1) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{3} \end{eqnarray*}$ , denn ich kann ja nur genau null mal ein Ereignis erhalten, und nicht z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ mal.
Also weiterhin:
$\begin{eqnarray*} P(1\leq x < 2) = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(2\leq x < 3) = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(3\leq x) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{3} \end{eqnarray*}$ . Da tritt das Ereignis genau drei mal ein.

Betrachte ich mal beispielhaft:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 2,5) = P(X<0) + P(0\leq X <1) + P(1\leq X < 2) = P(X\leq 2) = P(X\leq \lfloor{2,5}\rfloor ) \end{eqnarray*}$
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} P(X\leq 45) = P(X\leq 3) \end{eqnarray*}$

Daher schließe ich: $\begin{eqnarray*} P(X\leq x) = P(X\leq \min\{\lfloor{x}\rfloor,3\} ) \end{eqnarray*}$

09.12.2017, 15:36

10001000Nick1

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Alles soweit richtig. (abgesehen davon, dass hier

Zitat:

Original von forbin
$\begin{eqnarray*} P(0\leq x < 1) = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{3} \end{eqnarray*}$

und in den drei nächsten Gleichungen große X stehen müssen)

Welche Werte hat jetzt die Verteilungsfunktion?

$\begin{eqnarray*} F(x)=P(X\leq x)= \begin{cases} ? & \text{falls } x<0 \\ ? & \text{falls } 0\leq x<1 \\ ? & \text{falls } 1\leq x<2 \\ ? & \text{falls } 2\leq x<3 \\ ? & \text{falls } 3\leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

09.12.2017, 15:41

forbin

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$\begin{eqnarray*} F(x)=P(X\leq x)= \begin{cases} 0 & \text{falls } x<0 \\ \frac{1}{8} & \text{falls } 0\leq x<1 \\ \frac{3}{8} & \text{falls } 1\leq x<2 \\ \frac{3}{8} & \text{falls } 2\leq x<3 \\ \frac{1}{8} & \text{falls } 3\leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

09.12.2017, 15:54

10001000Nick1

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Nein, das stimmt nicht.

Es ist doch z.B. $\begin{eqnarray*} F(2,5)=P(X\leq 2,5)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \end{eqnarray*}$ . Du musst also die Werte der Dichtefunktion aufsummieren. (Die möglichen Werte, die eine binomialverteilte Zuffalsvariable annehmen kann, und die kleiner als 2,5 sind, sind ja nur 0, 1 und 2.)

(Direkt an der Definition von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sieht man z.B., dass Verteilungsfunktionen monoton steigend sind, was ja bei dir nicht der Fall wäre.)

09.12.2017, 16:00

forbin

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Nein, das stimmt nicht.

Es ist doch z.B. $\begin{eqnarray*} F(2,5)=P(X\leq 2,5)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \end{eqnarray*}$ . Du musst also die Werte der Dichtefunktion aufsummieren. (Die möglichen Werte, die eine binomialverteilte Zuffalsvariable annehmen kann, und die kleiner als 2,5 sind, sind ja nur 0, 1 und 2.)

(Direkt an der Definition von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sieht man z.B., dass Verteilungsfunktionen monoton steigend sind, was ja bei dir nicht der Fall wäre.)

Ich hatte es doch beim Schreiben auch so im kopf...

$\begin{eqnarray*} F(x)=P(X\leq x)= \begin{cases} 0 & \text{falls } x<0 \\ \frac{1}{8} & \text{falls } 0\leq x<1 \\ \frac{4}{8} & \text{falls } 1\leq x<2 \\ \frac{7}{8} & \text{falls } 2\leq x<3 \\ 1 & \text{falls } 3\leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

09.12.2017, 16:04

10001000Nick1

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09.12.2017, 16:09

forbin

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Ok, aber nun soll es ja als geschlossene Formel angegeben werden.
Ist das diese Form?
Ich weiß nicht, wie gängig diese Bezeichnung ist.

09.12.2017, 16:17

10001000Nick1

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Ja, das kannst du so stehen lassen.

Möglich wäre auch folgendes: $\begin{eqnarray*} F(x)=\sum_{k=0}^{\min(\lfloor x\rfloor, 3)} \binom{3}{k}\cdot \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

09.12.2017, 16:21

forbin

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Oh, das ist ja toll, dann hab ich das gerafft. Danke! Freude

Ich habe noch zwei weitere Aufgaben dieser Art. Kann ich die einfach hier hinein posten?

09.12.2017, 16:26

10001000Nick1

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Der Übersichtlichkeit halber erstelle lieber einen neuen Thread. smile

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