Lebesgue-Maß

09.12.2017, 14:32

Laura01.04

Lebesgue-Maß

Meine Frage:
( $\begin{eqnarray*} \mathbb R, \mathcal B \end{eqnarray*}$ ) sei mit dem Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ versehen.

Prüfe, ob die numerische Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$

in
$\begin{eqnarray*} \mathcal L^{2} \left(\left[2,\infty \right[,\lambda \right) \end{eqnarray*}$ liegt.

Meine Ideen:
Wie Löse ich sowas? Integrieren? Und dann?

09.12.2017, 14:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Laura01.04
Wie Löse ich sowas?

Indem du dir zunächst mal die Definition anschaust, d.h., was muss erfüllt sein, damit $\begin{eqnarray*} f\in \mathcal L^{2} \left(\left[2,\infty \right[,\lambda \right) \end{eqnarray*}$ ist!

09.12.2017, 16:02

Laura 01.04

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Wegen 1<=p < unendlich

oder muss ich aus dem hier was basteln:
$\begin{eqnarray*} N_{p}(f)=\left(\int_{\Omega} \! f|x|^{p} \, d\mu\right)^{2} \end{eqnarray*}$

da L_p Räume, und hier die rede von L^2 ist, nehme ich an p sei 2 Omega mein geg. Intervall also:

numerisch ist das Teil nicht Lösbar oder sehe ich das falsch? Wenn ich das ignoriere erhalte ich doch

ln(|x-2|) (ja und theoretisch +C) setze ich die Grenzen ein:

ln|2-2|-ln | $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ -2|

was ist den ln | $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ |

? verwirrt

09.12.2017, 16:17

Laura 01.04

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Zitat:

Hab in Wikipedia was über den Lp-Raum gelesen

kann damit leider nicht viel anfangen:

ich würde es integrieren und wenn das Ergebnis kleiner unendlich behaupten es liege im interval und sonst nicht. So hab ich das grad verstanden was ich da gelesen hab oder ist das Unfug?

Wegen 1<=p < unendlich

oder muss ich aus dem hier was basteln:

da L_p Räume, und hier die rede von L^2 ist, nehme ich an p sei 2 Omega mein geg. Intervall also:

numerisch ist das Teil nicht Lösbar oder sehe ich das falsch? Wenn ich das ignoriere erhalte ich doch

ln(|x-2|) (ja und theoretisch +C) setze ich die Grenzen ein:

ln|2-2|-ln | -2|

was ist den ln ||

?

ich erneut. Also ln von unendli ist unendlich

also liegt es nicht in L^2 weil es unendlich ist und laut definitioin kleiner unendlich sein soll...

Ist mein Gedanke richtig?

09.12.2017, 16:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Laura 01.04
ich würde es integrieren und wenn das Ergebnis kleiner unendlich behaupten es liege im interval und sonst nicht.

Ja, das ist es.

Zitat:

Original von Laura 01.04
numerisch ist das Teil nicht Lösbar oder sehe ich das falsch?

Was meinst du mit "nicht lösbar" ? Ich würde darunter verstehen, dass das Integral weder direkt noch uneigentlich (d.h. mit Wert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ) existiert - und dem kann ich hier nicht zustimmen.

Also ohne Rumgeeiere: Was kommt hier beim Integral raus?

09.12.2017, 16:50

Laura01.04

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Ich bin sehr unsicher und schreibe die Zwischenschritte hin. Falls ich irgendwo ein Gedankenfehler habe, kann m an so besser erkenne was ich verbock habe.

ich habe noch das hier gefunden (neben der kleiner unendlich Bedingung):

$\begin{eqnarray*} N_{p}(f)=\left(\int_{\Omega} \! f|x|^{p} \, d\mu\right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$
Muss ich aus der Aufgabe also erst folgendes machen (umformen) bevor ich integrieren? (Dazu würde ich tendieren). Ich quadriere als ( beziehungsweise setze für p was auch immer als Potenz gegeben ist, hier 2 ein) also:

$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{ \infty } \! \frac{1}{(x-2)^{2}} \, dx \end{eqnarray*}$ =

= $\begin{eqnarray*} \left[ln (x-2)\right]_{2}^{\infty } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} ln( \infty -2) - ln (2-2) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \infty - (-\infty ) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

und damit nicht in L^2, da 1<=p < unendlich nicht gegeben ist

09.12.2017, 16:55

HAL 9000

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Naja, die drittletzte Zeile hätte ich durch $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \ln(x-2) - \lim_{x\searrow 2} \ln(x-2) \end{align*}$ ersetzt, aber mit dem Endergebnis bin ich einverstanden.

Das Resümee ist daher $\begin{eqnarray*} f\not\in \mathcal L^{2} \left(\left[2,\infty \right[,\lambda \right) \end{eqnarray*}$ .

09.12.2017, 17:00

IfindU

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@HAL

Die berechnete Stammfunktion stimmt nicht. Mit der Stammfunktion hat man "nur" $\begin{eqnarray*} f \not\in L^1 \end{eqnarray*}$ . gezeigt.

09.12.2017, 17:08

Laura 01.04

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wieso? was hab ich vergessen? traurig

09.12.2017, 17:09

HAL 9000

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Ah ja, man sollte doch die konkrete Rechnung anschauen. Hammer

(Hatte ich nicht gemacht, da ja eh $\begin{eqnarray*} f\not\in L^p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt. )

09.12.2017, 17:13

Laura 01.04

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Zitat:

Original von IfindU
@HAL

Die berechnete Stammfunktion stimmt nicht. Mit der Stammfunktion hat man "nur" $\begin{eqnarray*} f \not\in L^1 \end{eqnarray*}$ . gezeigt.

Könnt ihr mir bitte erklären was passiert?

Muss ich das ganze ein zweites mal integrieren ?

09.12.2017, 17:30

IfindU

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Du musst die richtige Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ finden. Also $\begin{eqnarray*} \int \frac 1 { (x-2)^2} dx \end{eqnarray*}$ . Das ist NICHT der Logarithmus. Deine Stammfunktion würde zu $\begin{eqnarray*} \int \frac 1 { (x-2)} dx \end{eqnarray*}$ passen.

09.12.2017, 17:35

Laura01.04

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ok ich suche den Fehler...

uuuf... hab ich das äußere 1/p vergessen? Dann wäre es doch

$\begin{eqnarray*} \left( \left(\frac{1}{x-2}\right)^{2}\right)^{1/2} = | \frac{1}{x-2} | \end{eqnarray*}$

ist doch Blödsinn

ach so ich habe falsch integriert.

ok

1/ (x-2)^2 ist demnach

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x-2} \end{eqnarray*}$

was unendlich - null ergibt mit Grenzen was wiederum unendlich ist und somit weder in L^1 noch in L^2

Oder kann ich mir jetzt einfach ein Kopfschuss geben weil ich zu dämmlich für das ganze hier bin

09.12.2017, 17:44

Laura 01.04

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ah ja, man sollte doch die konkrete Rechnung anschauen. Hammer

(Hatte ich nicht gemacht, da ja eh $\begin{eqnarray*} f\not\in L^p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt. )

wie erkennst du das auf dem ersten Blick ohne zu integrieren? Was siehst du auf anhieb?

09.12.2017, 17:45

IfindU

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Achtung!
$\begin{eqnarray*} \left ( \int f(x) d x \right)^q \neq \int f^{q}(x) d x \end{eqnarray*}$ .

Das heisst die Reihenfolge hier bei dir muss sein: Du quadrierst deine Funktion, berechnest das Integral. Wenn das alles gemacht ist, ziehst du von dem Ergebnis die Wurzel. Und nicht früher!

Edit: Jetzt stimmt es. Gar nicht weiter gelesen, als ich das mit der Wurzel gelesen habe Big Laugh

Und ich unterstelle mal HAL wusste es aus den gleichen Gründen wie ich: Wir haben die Aufgabe auch mal rechnen müssen und haben uns das Ergebnis behalten Big Laugh

09.12.2017, 17:56

Laura 01.04

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Oh Gott... Danke . Ich habe die Klammer vollkommen Missachtet. Deswegen war das so unlogisch in meinem Kopf. Vielen Dank. Das macht einiges klarer in meinem Kopf. Danke Gott

Das heißt hier hätte ich am ende $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{\infty } \end{eqnarray*}$ was wieder unendlich ist... Danke

09.12.2017, 18:00

IfindU

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Für die Endlichkeit ist es auch egal ob man $\begin{eqnarray*} \int |f|^p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left( \int |f|^p dx\right)^{1/p} \end{eqnarray*}$ berechnet. Daher fordert man hin und wieder das linke, weil es äquivalent ist und man sich einen Rechenschritt spart Big Laugh

09.12.2017, 18:03

Laura 01.04

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stimmt

aber trotzdem, jetzt erkenne ich wenigstens was das ganze soll.

Danke zusammen Mit Zunge

09.12.2017, 18:10

Laura 01.04

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achso. Nur noch eine Kleinigkeit. Das ganze muss ja zwischen 1 und unendlich liegen, korrekt? Das heißt ein -1 als Ergebnis wäre auch nicht drin. also nur positive Zahlen bis unendlich ohne null

09.12.2017, 18:25

IfindU

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Das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ muss dazwischen liegen. Bei der puren Berechnung, ob das Integral $\begin{eqnarray*} \int |f|^p \end{eqnarray*}$ existiert oder nicht, kann man alle $\begin{eqnarray*} 0 < p \leq \infty \end{eqnarray*}$ zulassen. Und sogar Null und negativ wenn man sich darauf einigt was mit $\begin{eqnarray*} \infty^p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0^p \end{eqnarray*}$ dann gemeint sein soll.

Allerdings sind die Mengen $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen nur dann Vektorräume, wenn $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \leq \infty \end{eqnarray*}$ . Hat mit der Dreiecksungleichung zu tun.

Das Ergebnis der Norm ist sowieso immer zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , da ma über etwas nicht-negatives integriert.

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