End(V) ist eine K-Algebra

10.12.2017, 12:38	larammm	Auf diesen Beitrag antworten »
End(V) ist eine K-Algebra Hallo zusammen, ich muss zeigen, dass End(V) eine K-Algebra ist, wenn K ein Köper ist und V ein K-Vektorraum ist. Ich bin verwirrt, was ich hier genau zeigen muss. Die Aufgabe erklärt nicht mit welcher Operation End(V) ein K-Algebra ist. Somit habe ich Schwierigkeiten 1. Zu zeigen, dass Hom(V,V) ein Vektorraum ist und 2. End(V) ein K-Algebra ist. Ein Teil der Definition des Vektorraumes im Skript steht z.B. a(X+Y) = aX + aY für alle a in K und X,Y in V. Aber das ist ein Vektorraum under der Addition und Multiplikation. Aber die Kompositionsoperation ist nicht einbegriffen. Viele Grüße, Lara
10.12.2017, 15:53	larammm	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist was ich jetzt habe, um zu zeigen, dass End(V) in K-Vektorraum ist: 1. $\begin{eqnarray} a(X+Y)= \end{eqnarray}$ (End(V) linear) $\begin{eqnarray} aX + aY \ \forall a \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X,Y \in End(V) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} (a+b)X= \end{eqnarray}$ (End(V) linear) $\begin{eqnarray} aX + bX \ \forall a,b \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \in End(V) \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} (ab)X= \end{eqnarray}$ (End(V) linear, Matrixmultiplikation) $\begin{eqnarray} a(bX) \ \forall a,b \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \in End(V) \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} id_V \cdot X= \end{eqnarray}$ (End(V) linear, Matrixmultiplikation) $\begin{eqnarray} X \ \forall X \in End(V) \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass End(V) ein K-Vektorraum ist. Sieht das gut aus? Es war wirklich von der Definition...ich konnte keine Zwischenschritten machen. Oder hat jemand eine andere Meinung darüber?
10.12.2017, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Vektorraum ist eine (additive) abelsche Gruppe mit Skalarmultiplikation über einem Körper, so dass 1X=X und 1.2.3. gilt. Das gilt für alle Abbildungen, da wird linear nicht benötigt. Additive abelsche Gruppe musst du für End(V) zeigen. Außerdem musst du zeigen, dass End(V) ein Ring ist, also eine passende Multiplikation existiert. Eine K-Algebra ist ein K-Vektorraum , der ein Ring ist. Als Multiplikation nimmt man hier die Komposition (Hintereinanderausführung) von Abbildungen, was im endlichdimensionalen Fall dim(V)=n, dim(End(V))=n², auf die Matrizenmultiplikation zurückgeführt werden kann (aber nicht muss).

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