Konvergente Folge x:= lim xn

10.12.2017, 13:47

elisalrsh

Konvergente Folge x:= lim xn

Meine Frage:
Hi, ich muss folgende Aufgaben lösen. Finde jedoch keinen Ansatz:

Es sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge positiv reeller Zahlen und $\begin{eqnarray*} x:=\lim_{n \to \infty } x_n \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie:

a) Für jedes k $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} ( \sqrt[k]{x_n} ) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{x} \end{eqnarray*}$
(Für x = 0 setzen wir dabei $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{0} := 0 \end{eqnarray*}$ )

b) Für jede positiv rationale Zahl q konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} ( x_n^{q} ) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x^{q} \end{eqnarray*}$

c) Ist q eine negativ rationale Zahl und x>0, so konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} ( x_n^{q} ) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} x^{q} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
für a) können wir den Beweis von $\begin{eqnarray*} | \sqrt[n]{x} -\sqrt[n]{y} | \leq \sqrt[n]{| x-y| } \end{eqnarray*}$ benutzen:

Da |a| =|-a|, können wir oBdA annehmen, dass $\begin{eqnarray*} x \geq y \end{eqnarray*}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \geq \sqrt[n]{y} \end{eqnarray*}$ .

In diesem Fall ist d. Ungleichung äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y} \leq \sqrt[n]{x-y} \end{eqnarray*}$ (**)
Wir wissen nun (**).

Nach einer anderen Aufgabe die ich schonmal lösen musste gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{(x-y)+y} \leq \sqrt[n]{x-y} + \sqrt[n]{y} \end{eqnarray*}$

und folglich
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} -\sqrt[n]{y} \leq \sqrt[n]{x-y} \end{eqnarray*}$

Danke im Voraus für eure Hilfe smile

11.12.2017, 09:59

klarsoweit

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RE: Konvergente Folge x:= lim xn

Zitat:

Original von elisalrsh
und folglich
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} -\sqrt[n]{y} \leq \sqrt[n]{x-y} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt aber identisch mit der Ungleichung (**). Was wolltest du also damit sagen?

Was du brauchst, ist, daß es zu jedem Epsilon > 0 ein N_0 gibt, so daß $\begin{eqnarray*} |\sqrt[k]{x_n} - \sqrt[k]{x}| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist für alle n > N_0.

Dazu kannst du die Ungleichung (**) oder noch besser die ursprüngliche Version ( $\begin{eqnarray*} |\sqrt[n]{x} -\sqrt[n]{y}| \leq \sqrt[n]{|x-y|} \end{eqnarray*}$ ) nutzen. smile

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