Nilpotente Endomorphismen

10.12.2017, 16:40	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotente Endomorphismen Meine Frage: Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter... Irgendwie verstehe ich nicht so ganz, was man genau unter nilpotenter Endomorphismus versteht Seien V ein K-Vektorraum und ' ein Endomorphismus auf V. Wir nennen ' nilpotent mit Index k, wenn gilt 'k = \|' .{.z. '} k-mal = 0Abb(V,V) und k die kleineste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist. a) Geben Sie alle nilpotenten Endomorphismen für K = V = R an. b) Geben Sie je ein Beispiel für einen nilpotenten Endomorphismus mit Index 1, 2 und 3 an. c) Zeigen Sie folgende Äquivalenz: ' nilpotent mit Index 6 2 , Im' Kern' Meine Ideen: Im Grunde genommen, würde ich mich über eine Erklärung der Nilpotenz freuen. Für die a) kann ich mir nur die Nullabbildung vorstellen, da man sonst in IR nicht auf die Null kommen kann...
10.12.2017, 17:12	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nilpotente Endomorphismen Anbei die Aufgabe nochmal in lesbar
10.12.2017, 19:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition steht da, besser kann man das nicht erklären. Betrachte z.B. $\begin{eqnarray} \varphi:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, (x,y)\mapsto (0,x) \end{eqnarray}$ . Die Aufgabe erfordert etwas Phantasie, und das Rechnen mit Matrizen kann helfen.
10.12.2017, 20:11	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstehe, dann ist das von dir angegebene Beispiel ein nilpotenter Endomorphismus mit Index 2. Wenn ich das dann richtig verstehe, wäre z.B. \varphi:\mathbb R^3\to\mathbb R^3,(x,y,z)\mapsto(0,x,y) ein nilpotenter Endomorphismus mit Index 3. Zu den Matrizen: Das würde dann ja bedeuten, dass die Matrizen auf und unter der Diagonalen nur 0 stehen haben.
10.12.2017, 21:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber das sind nur Beispiele, die nicht sehr viel Information über nilpotente Endomorphismen enthalten.
11.12.2017, 16:26	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
In den Vorlesungen und Übungen wurden Endomorphismen auch noch gar nicht richtig behandelt, vor allem nicht in Bezug auf Matrizen bzw. Matrizen generell. Aber es reicht ja bei b), nur Beispiele anzugeben. Bei der a) dürfte demnach dann ja nur die Nullfunktion in Frage kommen. Wie genau würde man das denn dann begründen?
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11.12.2017, 18:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Endomorphismen von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sind die Abbildungen $\begin{eqnarray} \varphi_a:\mathbb R\to \mathbb R,x\mapsto ax \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a^k1=0\Rightarrow a=0\Rightarrow \varphi_a=0 \end{eqnarray}$

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