Konvergenzkriterium

11.12.2017, 01:13

Delta 1

Konvergenzkriterium

Begründen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } \end{eqnarray*}$

Meine Idee

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } = \sqrt{\frac{n+1}{n^5+n^2+1} } = \sqrt{\frac{n^5 (\frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^5}) } {n^5 (1+ \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^5})} } ------> \sqrt{\frac{0+0}{1+0+0} } => \lim_{n \to \infty } a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

oder soll ich hier Quotientenkriterium anwenden

11.12.2017, 05:24

Mulder

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RE: Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Delta 1
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } = \sqrt{\frac{n+1}{n^5+n^2+1} } = \sqrt{\frac{n^5 (\frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^5}) } {n^5 (1+ \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^5})} } ------> \sqrt{\frac{0+0}{1+0+0} } => \lim_{n \to \infty } a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Abgesehen von formalen Mängeln möchte ich anmerken, dass es für die Konvergenz der Reihe zwar notwendig ist, dass dein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nulllfolge ist, es ist aber nicht hinreichend. Damit ist also noch nicht viel erreicht.

Ich würde mit dem Majorantenkriterium arbeiten.

11.12.2017, 10:02

klarsoweit

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RE: Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Delta 1
oder soll ich hier Quotientenkriterium anwenden

Um noch diese Frage zu beantworten: du kannst es damit versuchen, wirst aber keinen Erfolg haben. Augenzwinkern

11.12.2017, 10:23

Delta 1

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Nach Majorantenkriterium:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n\geq n_0 \sum\limits_{k=1}^{n} b_{n} konvergiert \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} |a_{n} | konvergiert \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } * \frac{\sqrt{n^5+n^2+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } = \frac{\sqrt{n^6+n^5+n^3+n^2+n+1} }{n^5+n^2+1} \leq \frac{\sqrt{n^6+n^5+n^3+n^2+n+1} }{n^5} \end{eqnarray*}$

bin ich richtig ?

11.12.2017, 10:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Delta 1
$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \forall n\geq n_0 \sum\limits_{k=1}^{n} b_{n} konvergiert \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n} |a_{n} | konvergiert \end{eqnarray*}$

Nun ja, ich würde es so schreiben: $\begin{eqnarray*} |a_n| \leq b_n ~ \forall n \geq n_0 \sum\limits_{k=1}^n b_k \text{ konvergiert } \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^n |a_k| \text{ konvergiert} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Delta 1
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } * \frac{\sqrt{n^5+n^2+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } = \frac{\sqrt{n^6+n^5+n^3+n^2+n+1} }{n^5+n^2+1} \leq \frac{\sqrt{n^6+n^5+n^3+n^2+n+1} }{n^5} \end{eqnarray*}$

bin ich richtig ?

Tendenziell ja, aber zu kompliziert. Einfach den Holzhammer auspacken und einmal draufkloppen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } \leq \frac{\sqrt{n+n} }{\sqrt{n^5} } \end{eqnarray*}$ smile

11.12.2017, 11:03

Delta 1

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+n} ich verstehe nicht warum \sqrt{n+n} ? \end{eqnarray*}$

danke für deine Hilfe

11.12.2017, 11:05

Delta 1

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sorry, warum $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+n} \end{eqnarray*}$

11.12.2017, 11:09

klarsoweit

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Nun ja, es geht ja darum, daß man als Majorante eine Reihe findet, deren Konvergenz bekannt ist. Bei meinem nun erreichten Summationsterm ist das - nach noch einer kleinen Umformung - offensichtlich der Fall. smile

11.12.2017, 11:14

Delta 1

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Nun ja, es geht ja darum, daß man als Majorante eine Reihe findet, deren Konvergenz bekannt ist - das verstehe ich, aber bei der Umformung habe ich Problem. Deswegen frage ich denn.

wenn du mir helfen kannst, wäre ganz lieb

11.12.2017, 11:21

klarsoweit

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Nun ja, da wir hier im Hochschulbereich sind, dachte ich, daß der Rest auf der Hand liegt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^5+n^2+1} } \leq \frac{\sqrt{n+n} }{\sqrt{n^5} } = \frac{\sqrt 2 \sqrt n}{\sqrt{n^5}} = \frac{\sqrt 2}{n^2} \end{eqnarray*}$

11.12.2017, 11:43

Delta 1

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Danke schön

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