Obermenge eines Erzeugendensystems |
11.12.2017, 16:05 | Croomer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Obermenge eines Erzeugendensystems Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Sei V ein K-Vektorraum, Ferner [...] sei M ein Erezugendensystem von V. Beweisen oder widerlegen Sie: (d): Jede Obermenge von M ist ein Erezugendensystem. Meine Ideen: Mein erster Gedanke war, dass die Aussage wahr ist, denn wenn ich einfach noch Vektoren in M mit rein nehme, kann ich ja - mit den bereits vorhandenen Einheitsvektoren - immernoch alle Vektoren meines Vektorraums erzeugen. Allerdings ist mir dann aufgefallen, dass ich ja auch Vektoren eines anderen Vektorraums mit in meine Menge nehmen könnte. Als Beispiel: R² als R-Vektorraum und M={(1,0),(0,1)} als Erezugendensystem. Dann ist O:={(1,0),(0,1),(0,0,1)} eine Obermenge von M. In der Definition des Erzeugendensystem heißt es: Eine Teilmenge M von V ist ES, wenn <M>=V gilt. O ist aber weder Teilmenge von R² noch ist <O>=R². Was mich zu dem Schluss bewegt hat, dass O kein ES von R² ist. Ich bin mir aber nicht sicher, da ich ja trotzdem jeden Vektor aus R² mit den Vektoren aus O bilden kann. Spielt es eine Rolle für ein ES, wenn man damit noch "zusätzliche" Vektoren bilden kann? |
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11.12.2017, 16:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du machst dir hier unnötigerweise Gewissensbisse. Mit Sicherheit sind hier mit Obermengen nur Teilmengen von V gemeint, die das gegebene Erzeugendensystem umfassen. |
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11.12.2017, 16:31 | Croomer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das würde natürlich Sinn machen. Weil es bei der Aufgabe um Teil- und Obermengen von einem ES und einer linear unabhängigen Teilmenge geht. Allerdings würde mich das jetzt schon interessieren: Muss eine Menge M Teilmenge eines Vektorraums sein, um ein Erzeugendensystem dieses Vektorraums sein zu können? |
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11.12.2017, 16:38 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. |
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11.12.2017, 16:59 | Croomer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles klar, danke dir für die schnelle Antwort! |
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