Rechnen im Sinn von temperierten Distributionen

11.12.2017, 16:34

Sito

Rechnen im Sinn von temperierten Distributionen

Abend zusammen,

wir haben diese Woche eine kurze Einführung in temperierte Distributionen bekommen im Rahmen einer Mathematik-Vorlesung für Physiker. Nun heisst es man solle im Sinne der temperierten Distributionen folgendes berechnen: $\begin{align*} a)\hspace{0.2cm} \frac{\dd^n }{\dd x^n}|x| \hspace{0.5cm} b)\hspace{0.2cm} x^2\delta'(3x) + x \delta''(x) \end{align*}$

Also überlegt habe ich mir bisher folgendes: $\begin{align*} f(x)=|x| \end{align*}$ , $\begin{align*} \varphi \mapsto f[\varphi]= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\varphi(x)\dd x =\int_{-\infty}^{\infty}|x|\varphi(x)\dd x \end{align*}$ . Daraus folgt dann recht direkt: $\begin{align*} \left(\frac{\dd^n}{\dd x^n}f\right)[\varphi]=(-1)^nf\left[\frac{\dd^n}{\dd x^n}\varphi\right]=(-1)^n\int_{-\infty}^{\infty}|x|\frac{\dd^n}{\dd x^n}\varphi(x) \dd x \end{align*}$ .
Um ehrlich zu sein weiss ich jetzt nicht mehr wirklich weiter. Folgenden Ansatz habe ich noch gemacht:
$\begin{align*} (-1)^n\int_{-\infty}^{\infty}|x|\frac{\dd^n}{\dd x^n}\varphi(x)\dd x = (-1^n)\left(\int_0^{\infty}x\frac{\dd^n}{\dd x^n}\varphi(x)\dd x - \int_{-\infty}^0x\frac{\dd^n}{\dd x^n}\varphi(x)\dd x\right) \end{align*}$ , aber auch hier komme ich nicht wirklich weiter bzw. weiss nicht ob ich hier auch auf dem richtigen Weg bin....

Zur zweiten Teilaufgabe kann ich leider nichts sagen, da ich überhaupt keine Ahnung habe wie man so etwas handhaben muss... Hoffe jemand kann hier etwas nachhelfen..

Gruss Sito

11.12.2017, 16:48

IfindU

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RE: Rechnen im Sinn von temperierten Distributionen
Sieht gut aus. Bei beiden Integralen kannst du nun partiell integrieren und es dann auswerten.

11.12.2017, 19:33

Sito

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RE: Rechnen im Sinn von temperierten Distributionen
Danke für den Hinweis, aber ich glaube ich komme immer noch nicht wirklich auf das Richtige.

Zuerst noch um die Notation im Folgenden zu vereinfachen: $\begin{align*} \dd_x^{n} =\frac{\dd^n}{\dd x^n} \end{align*}$

Was ich gemacht habe:
$\begin{align*} (-1)^n\int_{-\infty}^{\infty}|x|\dd_x^n \varphi(x)\dd x &= (-1)^n\left(\int_0^{\infty}x \dd_x^n \varphi(x)\dd x - \int_{-\infty}^0x\dd_x^n\varphi(x)\dd x\right)<br /> &= (-1)^n\left( \left[x\dd_x^{n-1}\varphi(x)\right]_0^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\dd_x^{n-1}\varphi(x) \dd x - \left[x\dd_x^{n-1}\varphi(x)\right]_{-\infty}^0 +\int_{-\infty}^0 \dd_x^{n-1}\varphi(x)\dd x\right)<br /> &= (-1)^n\left(-\int_{0}^{\infty}\dd_x^{n-1}\varphi(x) \dd x + \int_{-\infty}^0\dd_x^{n-1}\varphi(x)\dd x\right) <br /> &= (-1)^n \left( \left[-\dd_x^{n-2}\varphi(x)\right]_0^{\infty} + \left[\dd_x^{n-2}\varphi(x)\right]_{-\infty}^0\right)<br /> &= (-1)^n\left(2\dd_x^{n-2}\varphi(x)\Big|_{x=0}\right) \end{align*}$
Das sieht aber sehr falsch aus....

11.12.2017, 19:45

IfindU

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RE: Rechnen im Sinn von temperierten Distributionen

Zitat:

Original von Sito
Das sieht aber sehr falsch aus....

Wenigstens hier muss ich widersprechen Augenzwinkern

Du musst natuerlich fordern, dass $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist, sonst steht da nichts wirklich wohldefiniertes. Aber wir koennen ja mal gucken was $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ liefern sollte. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ ist fast uerball $\begin{eqnarray*} sgn(x) \end{eqnarray*}$ , Die Ableitung davon ist fast ueberall 0, ausser bei $\begin{eqnarray*} x= 0 \end{eqnarray*}$ . Dort springt es von -1 zu +1. Das sollte in der Ableitung also einen Dirac-Sprung der Hoehe 2 liefern. Und genau das tut deine Formel.

Du muesstest also nur gucken was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist. Dort ist die Rechnung etwas anders.

11.12.2017, 21:25

Sito

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RE: Rechnen im Sinn von temperierten Distributionen
Oke, bin jetzt doch etwas überrascht, dass das stimmt.^^ Vielen Dank aber an der Stelle noch für das konkrete Bsp. Da nach Aufgabenstellung sogar $\begin{align*} n\ge 1 \end{align*}$ gilt muss man die Rechnung nun also noch für $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ machen.

In dem Fall also: $\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}(\dd_x|x|) \varphi(x)\dd x=-\int_{-\infty}^{\infty}|x|\dd_x \varphi(x)\dd x = \int_{-\infty}^0x\dd_x\varphi(x)\dd x - \int_0^{\infty}x\dd_x \varphi(x)\dd x = -\int_{-\infty}^0\varphi(x)\dd x +\int_{0}^{\infty}\varphi(x)\dd x \end{align*}$ ,
und naja, hier komme ich mal wieder nicht weiter... Ich kann die zwei Integrale wegen dem Vorzeichen nicht zusammennehmen, aber getrennt behandeln kann ich sie auch nicht...

12.12.2017, 05:53

IfindU

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RE: Rechnen im Sinn von temperierten Distributionen

Zitat:

Original von Sito
$\begin{align*} -\int_{-\infty}^0\varphi(x)\dd x +\int_{0}^{\infty}\varphi(x)\dd x \end{align*}$ ,

$\begin{align*} = \int_{-\infty}^{\infty}sgn(x)\varphi(x)\dd x \end{align*}$
Haettest du dir überlegt was rauskommen koennte, haettest du es sicher auch gesehen Augenzwinkern

Edit: Vorzeichenfehler behoben.

12.12.2017, 20:46

Sito

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Hoppla, das habe ich tatsächlich übersehen.. Danke nochmal dafür.

Inzwischen habe ich mich auch noch einmal an der zweiten Teilaufgabe versucht...

Es heisst man solle also $\begin{align*} x^2\delta'(3x)+x\delta''(x) \end{align*}$ im Sinne der Distributionen berechnen. Meine Überlegungen war hier, dass es sich hierbei um eine Verknüpfung von grundlegenden Operationen auf Distributionen handelt. Im Sinn hatte ich hier:
$\begin{align*} x^2\omega_f[\varphi]&=\omega_f[x^2\varphi]\\ \omega_{\delta}'[\varphi]&=-\omega_{\delta}[\varphi'] \\A\omega_f[\varphi]&={\rm{det}}D_A\omega_f[A^{-1}\varphi] \end{align*}$
$\begin{align*} A \end{align*}$ ist hier schlicht eine Transformation mit $\begin{align*} x\mapsto 3x \end{align*}$ .

Das Problem ist, dass ich nicht weiss wie man die Verknüpfung jetzt konkret ausführt. Da Distributionen linear sind kann ich die Summanden der Distribution einzeln behandeln. Wenn ich nun mit $\begin{align*} x^2\delta'(3x) \end{align*}$ beginne, komme ich auf $\begin{align*} (x^2\delta'(3x))[\varphi]=\underbrace{{\rm{det}}D_A}_{=3}( x^2\delta')[A^{-1}\varphi]=3(x^2\delta)[\dd_x A^{-1}\varphi] =3(x^2\delta)\left[\frac{1}{3}A^{-1}\varphi'\right]=3\delta\left[\frac{1}{3}x^2A^{-1}\varphi'\right]=0 \end{align*}$ , wegen der Delta-Distribution und dem $\begin{align*} x \end{align*}$ im Argument... Ich glaube, dass ich hier aber etwas mit der Reihenfolge der Operationen durcheinander bringe...

Gruss Sito

13.12.2017, 12:00

IfindU

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Die Reihenfolge ist nebensächlich, wenn du die Regeln korrekt ausführst. So ist
$\begin{align*} ( (3x)^2\delta'(3x))[\varphi]=\underbrace{{\rm{det}}D_A}_{=3}( x^2\delta')[A^{-1}\varphi] \end{align*}$
korrekt. Aber das steht nunmal nicht da. Eine Möglichkeit wäre also
$\begin{align*} ( x^2\delta'(3x))[\varphi]= ( \delta'(3x))[x^2 \varphi] = \underbrace{{\rm{det}}D_A}_{=3}( \delta')[A^{-1} (x^2\varphi)] =3( \delta')[ ( (x/3)^2A^{-1}\varphi)] = \frac 1 3( \delta')[ ( x^2A^{-1}\varphi)] \end{align*}$ .

Ähnlich dann hier
$\begin{align*} ( (x^2\delta)')[A^{-1}\varphi]=3(x^2\delta)[\dd_x A^{-1}\varphi] \end{align*}$
wäre korrekt. Da aber bei dir auf der linken Seite $\begin{align*} x^2\delta' \end{align*}$ statt $\begin{align*} (x^2\delta)' \end{align*}$ . Also kannst du es das nicht einfach so anwenden.

15.12.2017, 16:15

Sito

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Ok, in diesem Fall kann ich also einfach "von links nach rechts arbeiten" bis ich das ganze auf die Delta-Distribution reduziert habe. Was ich jetzt aber nicht verstehe:
$\begin{align*} \frac 1 3( \delta')[ ( x^2A^{-1}\varphi)] = -\frac 1 3 \delta[\dd_x (x^2A^{-1}\varphi)] = -\frac 1 3 \delta[2xA^{-1}\varphi+x^2A^{-1}\varphi']= -\frac 1 3 \delta[2xA^{-1}\varphi]+\frac 1 3 \delta[x^2A^{-1}\varphi']=0 \end{align*}$
sollte das so rauskommen?

Der zweite Teil wäre dann: $\begin{align*} (x\delta''(x))[\varphi] = \delta''[x\varphi] =-\delta'[\dd_x (x\varphi)]=-\delta'[\varphi]-\delta'[x\varphi']=\delta[\varphi']+\delta[\varphi']+\delta[x\varphi'']=2 \delta[\varphi']+\delta[x\varphi'']= 2\delta[\varphi'] \end{align*}$

15.12.2017, 16:52

IfindU

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Das $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ in der ersten Zeile muss natürlich weg.

Und so hätte ichs auch gemacht, bloss mehr Vorzeichenfehler eingebaut Big Laugh

15.01.2018, 10:48

Sito

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Etwas verspätete Antwort, aber kannst du vlt. erklären wieso in der ersten Zeile das $\begin{align*} =0 \end{align*}$ weg muss? Ich meine die Delta-Distribution bildet doch einfach $\begin{align*} \varphi\mapsto \varphi(0) \end{align*}$ ab und in dem Fall dann doch auch $\begin{align*} x\varphi\mapsto 0\cdot\varphi(0)=0 \end{align*}$

15.01.2018, 11:59

IfindU

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Da hast du natürlich Recht. Alle Schritte davor gingen für beliebige Distributionen, deswegen hatte ich Dirac-Distribution nicht mehr auf dem Schirm.

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