Drehparaboloid im Becherglas: Integralrechnung

11.12.2017, 19:11

justusmagcupcakes

Drehparaboloid im Becherglas: Integralrechnung

Hallo liebe Community, als Hausaufgaben sollen wir folgende Aufgabe erledigen: Wenn ein Becherglas in Rotation versetzt wird, dann drückt sich die Flüssigkeit am Rand hoch und es bildet sich ein Paraboloid aus. Die Gleichung lautet: f (x)=0.5x^2+2 und die zu bestimmende Fläche geht von x=-4 bis x=4. Bestimmen Sie das Volumen des Wassers im Becherglas. Wie hoch stand das Wasser im Becherglas im Ruhestand. Nun haben wir noch folgenden Tipp bekommen: Die Integralfunktion für das Rotationsvolumen gilt nur für die Rotation um die x-Achse. Deshalb muss man die Umkehrfunktion zur quadratischen Funktion finden. Bestimmung der Umkehrfunktion zu y=ax^2+b. 1. Gleichung nach x auflösen: x= $\begin{eqnarray*} \sqrt{(y/a)-(b/a)} \end{eqnarray*}$ und als zweites tauscht man die Variablen x und y aus. Kommen wir nun zum meinem Lösungsansatz. Bei der ersten Fragestellung hätte ich gesagt, dass man nun die Gleichung, die man erhält, wenn man y und x umtauscht in die Gleichung die man hat, wenn ein Rotationskörper um die x-Achse rotiert einsetzt. Also $\begin{eqnarray*} \pi \int_{-4}^{4} \! f(\sqrt{(x/a)-(b/a)} ) \ \end{eqnarray*}$ , dx . Macht das Sinn? Bei der zweiten Fragestellung habe ich leider keinen Ansatz. Ich hoffe meine Frage ist auf Grund der Schreibweise der Formeln trotzdem einigermaßen klar. Danke schon einmal im Voraus!

11.12.2017, 19:55

sibelius84

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RE: Drehparaboloid im Becherglas: Integralrechnung
Hallo Justus,

$\begin{eqnarray*} \pi \int_{-4}^{4} \! (\sqrt{(x/a)-(b/a)} )^2 \ \end{eqnarray*}$ , dx

würde mehr Sinn ergeben. Dann würde sich auch die Wurzel auflösen. Augenzwinkern

Für die zweite Frage - du meinst vermutlich, wie hoch das Wasser im Ruhestand stand? Das Glas wird ein Zylinder mit Radius 4 sein und du bekommst ja aus deiner ersten Rechnung das Volumen der Flüssigkeit raus. Das kannst du in die Formel für das Volumen eines Zylinders einsetzen und nach h auflösen.

LG
sibelius84

12.12.2017, 14:47

justusmagcupcakes

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RE: Drehparaboloid im Becherglas: Integralrechnung
würde dann bei der ersten Fragestellung ein Volumen von ungefähr 100,53 Sinn machen und bei der zweiten Fragestellung eine Höhe von 2?

12.12.2017, 15:01

klarsoweit

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RE: Drehparaboloid im Becherglas: Integralrechnung

Zitat:

Original von sibelius84
$\begin{eqnarray*} \pi \int_{-4}^{4} \! (\sqrt{(x/a)-(b/a)} )^2 \ \end{eqnarray*}$ , dx

würde mehr Sinn ergeben.

Bei mir eher: $\begin{eqnarray*} \pi \cdot \int_{f(0)}^{f(4)} \! (\sqrt{(x/a)-(b/a)} )^2 ~dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von justusmagcupcakes
würde dann bei der ersten Fragestellung ein Volumen von ungefähr 100,53 Sinn machen

Ich komme auf ein anderes Ergebnis. Leider hast du darauf verzichtet, deine Rechnung zu posten, so daß ich diese nicht gegenchecken kann. traurig

12.12.2017, 15:09

justusmagcupcakes

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$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{10} \! f(\sqrt{x/0.5-2/0.5} )^2 \, dx \end{eqnarray*}$ = 201.06. Habe jetzt ein anderes Ergebnis. Macht das mehr Sinn bei 1.?

12.12.2017, 15:17

klarsoweit

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Bitte laß das "f" in dem Integral weg. Das gehört nicht dahin. Und irgendwie sieht für mich das exakte Ergebnis $\begin{eqnarray*} 64 \pi \end{eqnarray*}$ schöner aus. Augenzwinkern

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