Stetigkeit Funktion

11.12.2017, 19:22

Kathreena

Stetigkeit Funktion

1.) Zeigen sie mit der Epsilon-Delta Definition von Stetigkeit, das die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ stetig ist.

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \setminus \left\{ -2\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x+1}{x+2} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Hinweis: Um geeignete obere Schranken zu erhalten, kann man $\begin{eqnarray*} -\delta< x - 1 < \delta \end{eqnarray*}$ verwenden

2.) Untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit

$\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \setminus \mathbb Z \end{eqnarray*}$

___________________________________________
Meine Idee:

1.) $\begin{eqnarray*} {\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \delta >0\,\forall x\in D:|x-x_{0}|<\delta \implies |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | f(x) -f(x_0) | = | f(x) - f(1) | = | \frac{x+1}{x+2} - \frac{2}{3} | = | \frac{3x+3-2x-4}{3x+6} | = | \frac{x-1}{3x+6} | < x-1 \leq \delta < \epsilon \end{eqnarray*}$

Weiß nich ob das so richtig ist, aber in der Definition steht ja eig. genau das, was ich da rausbekommen habe.

2.)
Kanns sein das die Funktion, trotz der Sprünge Stetig ist? , nur wie zeig ich das.

12.12.2017, 09:25

klarsoweit

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RE: Stetigkeit Funktion

Zitat:

Original von Kathreena
Hinweis: Um geeignete obere Schranken zu erhalten, kann man $\begin{eqnarray*} -\delta< x - 1 < \delta \end{eqnarray*}$ verwenden

Hm. Ich würde einfach $\begin{eqnarray*} \delta = min(\epsilon; 1) \end{eqnarray*}$ wählen. Für |x-1| < delta ist dann x > 0. Das ist dann hilfreich bei der Abschätzung.

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} | f(x) -f(x_0) | = | f(x) - f(1) | = | \frac{x+1}{x+2} - \frac{2}{3} | = | \frac{3x+3-2x-4}{3x+6} | = | \frac{x-1}{3x+6} | < x-1 \leq \delta < \epsilon \end{eqnarray*}$

Mit den Beträgen muß man etwas aufpassen. In deiner Rechnung sind deswegen formale Schwächen.
Besser ist: $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| = |f(x) - f(1)| = |\frac{x+1}{x+2} - \frac{2}{3}| = |\frac{3x+3-2x-4}{3x+6}| = |\frac{x-1}{3x+6}| < |x-1| < \delta < \epsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kathreena
2.)
Kanns sein das die Funktion, trotz der Sprünge Stetig ist? , nur wie zeig ich das.

Nun ja, an den Sprüngen ist die Funktion in jedem Fall unstetig. Bis auf zwei Ausnahmen ist das an allen ganzzahligen Stellen. smile

12.12.2017, 14:44

Kathreena

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1.) $\begin{eqnarray*} \delta = min(\epsilon; 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | x-1 | < 1 = \delta \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

So ?

12.12.2017, 15:28

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, was du mit diesem Bruchstück eines umfangreicheren Beweises sagen willst. Wie es formal funktioniert, habe ich in meinem vorigen Beitrag gezeigt.

12.12.2017, 16:53

Kathreena

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Du hast die Bedingung für $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben.

Und dann folgen ja die 2 Beweisschritte, die du ausgelassen hast.

Die versuche ich hier irgendwie gerade zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} \epsilon > 0, \delta = min(\epsilon; 1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x-1| < \delta \end{eqnarray*}$

Daraus folgt das $\begin{eqnarray*} 0 < x < x_0 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| = |f(x) - f(1)| = |\frac{x+1}{x+2} - \frac{2}{3}| = |\frac{3x+3-2x-4}{3x+6}| = |\frac{x-1}{3x+6}| < |x-1| < 1 < 1\delta \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

13.12.2017, 09:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Daraus folgt das $\begin{eqnarray*} 0 < x < x_0 = 1 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} |x-1| < \delta \end{eqnarray*}$ folgt 0 < x < 2, da delta maximal 1 ist.

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