Funktionen, die jeden Wert gleich oft annehmen

12.12.2017, 00:56	piak123	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen, die jeden Wert gleich oft annehmen Hallo zusammen, kann mir jemand einen Tipp für diese Aufgabe geben? Die Aufgabe ist echt tricky... Es sei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (ohne 1) und $\begin{eqnarray} f: [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Funktion, die jeden ihrer Werte genau n-mal annimmt. Zeigen Sie, dass f nicht auf ganz [0, 1] stetig sein kann.
12.12.2017, 16:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisskizze: Indirekter Beweis, d.h., man geht von der Annahme aus, dass es doch eine stetige Funktion mit den geforderten Eigenschaften gibt. Dann folgen diese Überlegungen: 1) Wertemenge $\begin{align} W:=f([0,1]) \end{align}$ ist gemäß Satz vom Minimum und Maximum (Weierstraß) beschränkt. 2) Aus 1) plus Stetigkeit folgt $\begin{align} W=[a,b] \end{align}$ mit reellen Zahlen $\begin{align} a<b \end{align}$ . 3) Man schaut sich die $\begin{align} n \end{align}$ Stellen mit $\begin{align} f(x)=a \end{align}$ bzw. die $\begin{align} n \end{align}$ Stellen mit $\begin{align} f(x)=b \end{align}$ sowie die Intervalle dazwischen an. Daraus konstruiert man mit Hilfe des ZWS, dass es $\begin{align} y\in (a,b) \end{align}$ geben muss, für die es mehr als $\begin{align} n \end{align}$ Stellen gibt, die diesen Funktionswert $\begin{align} y \end{align}$ aufweisen. Ist ein pragmatischer Zugang, der mühsam zum Ziel führt. Wahrscheinlich gibt es eine glänzende Idee, die dem Beweis in wenigen Zeilen den Garaus macht, aber mir wíll sie heute nicht einfallen.
12.12.2017, 19:27	piak123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL 9000, ich werde es heute Abend versuchen. Ich habe auch eine Tutorin gefragt und wir haben 20 Minuten zusammen darüber gesprochen und sie hat auch keine Ahnung genau wie das für n größer gleich 2 gilt so es ist keine leichte Aufgabe.

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