Untersuchung Blutkonserven-Wahrscheinlichkeiten

12.12.2017, 03:16

Girl000

Untersuchung Blutkonserven-Wahrscheinlichkeiten

Meine Frage:
Nach einer Blutspende-Aktion müssen die Blutkonserven auf Viren untersucht werden. Um den finanziellen Aufwand klein zu halten, werden daher zu Proben von je 5 Personen gemischt. Anschließend wird das Gemisch untersucht. Nur bei den Gemischen, bei denen Erreger gefunden wurden, wird anschlieBend jede Einzelprobe geprüft. Die Zufallsgröße X zählt die Anzahl der Untersuchungen, die für eine Gruppe aus k 5 Personen erforderlich sind. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass p 0,07% der Blutspender mit Viren infiziert sind. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von x. Berechnen Sie den Erwartungswert. b) Welche (prozentuale) Ersparnis erzielt man durch Bildung von Gruppen der Größe k 5 im Vergleich zur kompletten Untersuchung aller Blutkonserven? c) Wie viel Prozent spart man, wenn man k 50 Personen zu Gruppen zusammenfasst?

Meine Ideen:
a) 1: 0,9965 und bei 6 Untersuchungen= 0,0035. An sich kann ich die Verteilungen weiß aber nicht warum hier (1-0,7)^5=0,9965 verwendet wird statt der Bernoulli Formel.
B) Hab die Lösung dazu (5-1,0175)/5= 79,65 verstehe aber hier nicht, wie man auf diesen Rechnungsweg kommt.
C) Lösung: 94,56%, hier weiß ich auch nicht woher man weiß, welche Formel/Weg man anwenden soll. Ich hoffe ihr könnt mir das einfach erklären, denn ich sollte das für meine Matheklausur.
Danke im Voraus smile

12.12.2017, 10:25

HAL 9000

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RE: Prozentuale Ersparnis? Untersuchung Blutkonserven-Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Girl000
a) 1: 0,9965 und bei 6 Untersuchungen= 0,0035. An sich kann ich die Verteilungen weiß aber nicht warum hier (1-0,7)^5=0,9965 verwendet wird statt der Bernoulli Formel.

Es ist die Bernoulli-Formel: Wenn wir mit $\begin{align*} Y \end{align*}$ die Anzahl der Infizierten in der Gruppe bezeichnen, so ist $\begin{align*} Y\sim B(5,0.0007) \end{align*}$ , und dann rechnet man

$\begin{align*} P(X=1) = P(Y=0) = \binom{5}{0}\cdot 0.0007^0\cdot (1-0.0007)^{5-0} \end{align*}$ .

Natürlich kann man auch einfach so argumentieren: Kein Infizierter heißt alle fünf nichtinfiziert, jeder davon mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} 1-0.0007=0.9993 \end{align*}$ , und das unabhängig voneinander, ergibt ebenfalls Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} 0.9993^5 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Girl000
B) Hab die Lösung dazu (5-1,0175)/5= 79,65 verstehe aber hier nicht, wie man auf diesen Rechnungsweg kommt.

Richtig wäre allenfalls $\begin{align*} (5-1{,}0175)/5= 79{,}65{\color{red}\%} \end{align*}$ .

Zur Rechnung: "Ersparnis = 1 - Aufwand", und "Aufwand = (mittlere Anzahl Proben im Mischverfahren)/(mittlere Anzahl Proben im Einzelverfahren)"

Der Nenner ist natürlich gleich 5, und der Zähler ist $\begin{align*} E(X) \end{align*}$ , berechenbar durch $\begin{align*} E(X) = 1\cdot P(X=1) + 6\cdot P(X=6) \end{align*}$

Zu c) Das ganze erneut durchgezogen, nur überall mit 50 statt 5 (bzw. Wert 51 statt 6 bei der Anzahl der Proben).

P.S.: Ich würde noch Teilaufgabe

Zitat:

d) Bei welcher Gruppengröße ist mit dieser "Zusammenschüttmethode" die prozentuale Kostenersparnis am größten?

anfügen.

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