Mächtigkeit der Menge M = {f | f: {0,1,2} -> {0, 1}}

12.12.2017, 11:30

Sunge

Mächtigkeit der Menge M = {f | f: {0,1,2} -> {0, 1}}

Meine Frage:
Ich habe eine Menge M = {f | f: {0,1,2} -> {0, 1}} gegeben. Gefragt ist die Mächtigkeit |M| der Menge M.

Meine Ideen:
Sind dann nur meine Funktionswerte von f, also 0 und 1, die Elemente meiner Menge und die Mächtigkeit |M| = 2?

12.12.2017, 11:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mächtigkeit der Menge M = {f | f: {0,1,2} -> {0, 1}}
Nein, es ist die Anzahl möglicher Funktionen $\begin{align*} f \end{align*}$ mit den angegeben Eigenschaften gesucht! Ich nenne mal ein paar solcher Funktionen

1) f(0)=0, f(1)=0, f(2)=0
2) f(0)=0, f(1)=0, f(2)=1
3) f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0
...
n) f(0)=1, f(1)=1, f(2)=1

Tja, und wie groß ist nun dieses $\begin{align*} n \end{align*}$ ?

12.12.2017, 11:43

Sunge

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mächtigkeit der Menge M = {f | f: {0,1,2} -> {0, 1}}

Zitat:

Original von HAL 9000
Nein, es ist die Anzahl möglicher Funktionen $\begin{align*} f \end{align*}$ mit den angegeben Eigenschaften gesucht! Ich nenne mal ein paar solcher Funktionen

1) f(0)=0, f(1)=0, f(2)=0
2) f(0)=0, f(1)=0, f(2)=1
3) f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0
...
n) f(0)=1, f(1)=1, f(2)=1

Tja, und wie groß ist nun dieses $\begin{align*} n \end{align*}$ ?

Also ist offenbar n = |M| = 8 ( = 3^2 ?) .. danke!

Edit 2: Ich habe hier noch eine problematische Menge mit der ich nicht viel anzufangen weiß:

M2 = P({1}) x {U,N} x P({1}) , wobei P(x) die Potenzmenge der Menge x, U die Vereinigung und N den Schnitt bezeichen.
Hier habe ich gar keine Idee, wie ich da ran gehe.

12.12.2017, 11:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

8 = 2^3 ist richtig.

Generell gilt $\begin{align*} \left| \left\{ f:\; A\to B\right\} \right| = |B|^{|A|} \end{align*}$ , sofern $\begin{align*} A,B \end{align*}$ endlich und nichtleer sind.

12.12.2017, 16:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sunge
M2 = P({1}) x {U,N} x P({1}) , wobei P(x) die Potenzmenge der Menge x, U die Vereinigung und N den Schnitt bezeichen.

$\begin{align*} M_2 = P(\{1\}) \times \{ \cup, \cap \} \times P(\{1\}) \end{align*}$

Das muss ich mir erstmal auf der Zunge zergehen lassen:

Du bildest das kartesische Produkt dreier Mengen, von denen die mittlere aus $\begin{align*} \cup \end{align*}$ und $\begin{align*} \cap \end{align*}$ besteht. verwirrt

Damit das einen Sinn ergibt, würde ich das so deuten, dass $\begin{align*} \cup \end{align*}$ und $\begin{align*} \cap \end{align*}$ hier einfach als abstrakte Symbole zu verstehen sind, ohne die Bedeutung, die sie in der Mengenleere haben. Es ist damit dann einfach

$\begin{align*} M_2 = \left\{\emptyset,\{1\}\right\} \times \{ \cup, \cap \} \times \left\{\emptyset,\{1\}\right\} = \left\{ (\emptyset,\cup,\emptyset), (\emptyset,\cup,\{1\}), (\emptyset,\cap,\emptyset), (\emptyset,\cap,\{1\}), (\{1\},\cup,\emptyset), (\{1\},\cup,\{1\}), (\{1\},\cap,\emptyset), (\{1\},\cap,\{1\}) \right\} \end{align*}$ . smile

Neue Frage »

Antworten »

Mächtigkeit der Menge M = {f | f: {0,1,2} -> {0, 1}}

Verwandte Themen