Fixpunktsatz von Edelstein und Stetigkeit |
12.12.2017, 21:21 | max56 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fixpunktsatz von Edelstein und Stetigkeit ich beschäftige mich mit einer Aufgabe: Sei nichtleer und kompakt, und sei stetig. Zeigen Sie: Aus der Ungleichung für alle mit folgt die Existenz eines eindeutig bestimmten Fixpunkts von f, d. h. eines Punktes mit . Hinweis: Betrachten Sie die Funktion . Meine Idee: Es gilt: für alle mit . Da f stetig ist, gilt zu jedem ein existiert, so dass für alle mit . Da kompakt ist, gibt es ein so dass für alle . ...Und da habe ich Probleme. Soll ich den Hinweis sofort benutzen oder dann später? |
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13.12.2017, 21:36 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da stetig und kompakt ist, nimmt in einem Punkt sein Minimum an: . Dieses Minimum muss sein; anderenfalls wäre , und damit kannst du zeigen, dass dann gelten würde, was aber im Widerspruch zur Definition von steht. Daraus folgt, dass ein Fixpunkt ist. Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nimm an, dass es einen weiteren Fixpunkt gibt und leite daraus einen Widerspruch her. |
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