Zeige, dass Polynome eine Basis bilden

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Titaleon Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass Polynome eine Basis bilden
Meine Frage:
Hallo, ich hab hier folgende Aufgabe zu lösen:

Wir betrachten den Polynomring Q[x] als Q-Vektorraum. Aus der Definition erhalten wir sofort, dass die Monome eine Basis von Q[x] bilden. Zeigen Sie, dass auch die Polynome eine Basis bilden.

Hinweis: Im Polynomring Q[x] gilt der binomische Lehrsatz:
Für Polynome p,q Q[x] und gilt:



(Sorry, komme mit dem Formeleditor nicht ganz zurecht.)

Meine Ideen:
Meine Idee wäre, eine lineare Unabhängigkeit zu zeigen von .

Wenn dies der richtige Ansatz sein sollte, wie stelle ich das an?
Und wenn im Hinweis der binomische Lehrsatz gegeben ist, werde ich ihn sicher auf irgendeiner Art und weise nutzen müssen.
Ich bin bei der Aufgabe leider komplett überfragt.

Ich bin über jede Hilfe dankbar
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das natürlich über den binomischen Lehrsatz machen. Es geht aber auch induktiv. Fangen wir also mit der linearen Unabhängigkeit an und nehmen wir rationale Zahlen , so daß für fast alle ist und



gilt. Setzt man ein, so erhält man und



Ein Produkt zweier Polynome kann aber nur das Nullpolynom sein, wenn ein Faktor das Nullpolynom ist (Nullteilerfreiheit des Polynomrings). Es folgt:



Indem man wieder einsetzt, erhält man und



Und wie oben folgt:



Und so geht das Spiel weiter. Man erhält sukzessive:
Das zeigt die lineare Unabhängigkeit der Polynome . Jetzt wäre noch zu zeigen, daß diese Polynome ein Erzeugendensystem bilden. Das könnte man mit der Substitution nachweisen.
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